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Algèbre générale
Bonjour, je bloque à la première question de l'exercice suivant :
a) Soit A un anneau commutatif.
Si I est un idéal de A , on définit le radical R(I) de I par :
R(I)={x
A tel qu'il existe n
tel que xnI}
Montrer que R(I) est un idéal de A contenant I.
b) Déterminer R(I) dans le cas où A=
et I=n, n étant un entier dont la décomposition en facteurs premiers s'écrit n=*
Je cherche pour commencer à montrer que R(I) est un idéal de A et pour cela je montre d'abord que c'est un sous-groupe de A. Je bloque à la stabilité par + (2ème condition pour un sous-groupe).
Merci d'avance pour votre aide
J'ai écrit :
Soit (x,y)R(I)²:
n,m tq xnI et ymI
xA et yA par définition de R(I)
donc par stabilité de + dans A, (x+y)A
mais je vois pas où ça me mène.
Vraiment?
Prend x tel que x²=0 et y tel que y^3=0, dans un anneau commutatif, tu peux pas trouver un n tel que (x+y)^n=0?
Essaie de t'inspirer de ça pour prouver la stabilité par addition du radical.
Bonsoir,
juste deux remarques.
Si x est dans R(I) il en est de même pour xk avec k entier plus grand que 1. C'est facile à démontrer.
Si x est dans R(I) et a dans A alors ax est dans R(I) car (ax)n=anxn l'anneau étant commutatif et I un idéal.
Salut verdurin
J'ai écrit :
Soit (x,y)
R(I)²:
n,m tq xnI et ymI
x
A et yA par définition de R(I)
donc par stabilité de + dans A, (x+y)
A
mais je vois pas où ça me mène.
Pour la stabilité tu as fais une erreur ici : qui te dit que
il faut juste trouver un entier naturel l par exemple tel que
on peut tout simplement prendre l égale à n+m et tu reprend le calcul et tu trouvera la réponse !
je crois que tu n'a pas compris la question !
(x+y)n n'est pas forcément dans I
on te dit de regarder la puissance m+n !
ymI donc ym+n-kI
(car ym+n-k=ymyn-k et yn-kA) par la même stabilité (car I est idéal de A),
xkym+n-kI
Mais je vois pas grâce à quelle stabilité xkym+n-k
I
ym
I donc ym+n-kI
(car ym+n-k=ymyn-k et yn-k
A) par la même stabilité (car I est idéal de A),pas vraiment !!!!!
et si k=n+1 tu fais comment ?
Je suis désolé je sèche complètement, à regarder vos précédents messages, j'ai l'impression qu'il y a quelque chose de simple mais je ne vois pas du tout.
Et si tu répondais à ma question?
Vraiment?
Prend x tel que x²=0 et y tel que y^3=0, dans un anneau commutatif, tu peux pas trouver un n tel que (x+y)^n=0?
Essaie de t'inspirer de ça pour prouver la stabilité par addition du radical.
Bonjour,
Je dirais qu'il y a aussi la considération que le coefficient binômial est un entier et que I est un groupe, donc k.x est dans I pour x dans I et k entier.
Non, le fait que les coefficient binomiaux soient entiers n'entre pas en ligne de compte, ce serait la même chose avec n'importe quels éléments de l'anneau.
@mokassin
Bien sûr ce serait la même chose avec n'importe quels éléments de l'anneau, mais il se trouve que ce sont des entiers, et que ce ne sont pas des éléments de l'anneau !
Par ailleurs, dire que les éléments x^p*y^q sont dans I ne suffit pas, il faut encore montrer que chaque terme de la somme est dans I, ce qui se justifie par le fait que ces termes sont pondérés par des entiers.
Je suis désolé je sèche complètement, à regarder vos précédents messages, j'ai l'impression qu'il y a quelque chose de simple mais je ne vois pas du tout.
faut faire un effort quand même ! on n'est plus en primaire !
si k varie de 0 à m+n, il est toujours soit supérieur à m, soit supérieur à n
Je suis désolé je sèche complètement, à regarder vos précédents messages, j'ai l'impression qu'il y a quelque chose de simple mais je ne vois pas du tout.
faut faire un effort quand même ! on n'est plus en primaire !
si k varie de 0 à m+n, il est toujours soit supérieur à m, soit supérieur à n
si k varie de 0 à m+n, avec m=4 et n=3 il y a bien 3 valeurs pour lesquelles k n'est ni supérieur à m ni supérieur à n, non ?
oui, je me suis mal exprimé... comme dit Verdurin,
soit k est supérieur à n , soit m+n-k est supérieur à m
Hein?
Tu connais beaucoup d'anneaux qui ne soient pas une Z-algèbre??!
(Indice: il n'y en a pas).
Encore faut-il avoir cette propriété en tête ...
@coa347.
J'ai trouvé ton objection inintéressante. En fait il suffit de savoir que tous les groupes commutatifs sont des Z-modules.
J'ouvre un fil 
Z-modules pour parler de la démonstration de cette proposition.
@verdurin
Désolée pour toi mon pauvre. Mais je pense que le plus à même d'en juger, c'est superjuju45, c'est à dire la personne qui a posé la question.
Bonjour,
En fait, je voulais dire à verdurin et à mokassin : pensez-vous réellement que la personne qui poste ici une question niveau maths spé maîtrise suffisamment les Z-algèbres et les Z-modules pour les utiliser et compléter sa démonstration ? D'autre part, ne pensez-vous pas que c'est prendre un marteau pour écraser une mouche ?
Pour montrer que si x appartient à I idéal, alors 3x appartient à I, il me paraît plus simple de dire : 3x=x+x+x (par définition de l'écriture d'ailleurs), que d'aller chercher les Z-algèbres et les Z-modules !
Je pose en fait la question à superjuju45. A lui (elle) de répondre !
Bonjour,
En fait, je voulais dire à verdurin et à mokassin : pensez-vous réellement que la personne qui poste ici une question niveau maths spé maîtrise suffisamment les Z-algèbres et les Z-modules pour les utiliser et compléter sa démonstration ? D'autre part, ne pensez-vous pas que c'est prendre un marteau pour écraser une mouche ?
Je n'ai parlé de Z-algèbre que pour te faire comprendre que ta remarque
@mokassin
Bien sûr ce serait la même chose avec n'importe quels éléments de l'anneau, mais il se trouve que ce sont des entiers, et que ce ne sont pas des éléments de l'anneau !
n'a aucun sens.
Z-algèbre et anneau (commutatif unitaire) sont des synonymes, tout anneau "contient" les entiers (pas injectivement), mais un entier n a un sens dans tout anneau, et n.a a un sens pour tout entier n et tout élément a de tout anneau (unitare), et c'est bien a la fois la multiplication dans l'anneau et l'addition de a, n fois, c'est la distributivité ce qui est normalement un réflexe depuis longtemps dans le supérieur.
Quand on a des elements r1,...,rp d'un ideal, et a1,...,ap des éléments quelconques de l'anneau, alors que la somme des a_ir_i soit dans l'ideal résulte immédiatement de la définition d'ideal, il n'y a pas besoin d'argument.
Pour montrer que si x appartient à I idéal, alors 3x appartient à I, il me paraît plus simple de dire : 3x=x+x+x (par définition de l'écriture d'ailleurs), que d'aller chercher les Z-algèbres et les Z-modules !
Mais il n'y a rien à dire, en fait, si x est dans un idéal, alors 3x y est aussi, c'est dans la définition d'idéal, c'est explicitement la propriété d'"absorption" d'un ideal, appliqué avec l'élément 3.
De la meme manière si V est un espace vectoriel, v un élément de V, alors 3v est dans V, y a rien à dire.
Peut etre peut on laisser Superjuju45 finir son exercice.
En effet, la Z-algèbre me parle (c'est à notre programme si c'est la même chose qu'une -Algèbre) mais pas le Z-module .
Ensuite je pense avoir compris ma stabilité, mais je peux pas vraiment poster ce que j'ai compris parce que mes formules LaTeX affiche le cache rouge du premier post et je ne sais pas comment rectifier le problème.
Un Z-module c'est juste un autre mot pour dire groupe abélien, bref, ca n'a aucun espece d'importance ici.
Pour ton exo tu as simplement à remarquer que si p est assez grand alors la somme pour i+j=p, des (i parmi p) x^i y^j est dans ton ideal car soit x^i soit y^j y est.
Il suffit en effet de prendre p=n+m, avec n et m tels que x^m et y^n soient dans I, comme il a été plusieurs fois dit.
Merci pour le temps que vous avez consacré à cette première question (j'ai pas compris tout de suite) et pour la b), j'ai pas encore cherché.
@mokassin
Bien sûr ce serait la même chose avec n'importe quels éléments de l'anneau, mais il se trouve que ce sont des entiers, et que ce ne sont pas des éléments de l'anneau !
n'a aucun sens.
Re-bonjour maokassin,
Décidément on ne se comprend pas. Alors pour toi, une matrice de dimension nxm à coefficients (dans un anneau ou un corps, peu importe) élément d 'un anneau, c'est la même chose qu'en entier ???
Pour ma part, je crois que cela revient à confondre le neutre de la matrice et le neutre des entiers. Mais ce n'est qu'un isomorphisme, et point.
En l'occurrence, dans la formule du binôme, les coefficients binomiaux dans ce développement dans un anneau commutatif, sont pour moi, de manière primitive des entiers.
(a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2 ab + b^2 : quand on écrit 2x, on a en tête x+x, on n'a pas en tête (en tout cas pour ma part) autre chose (si ce n'est 1x+1x=2.1x, on est bien avancé).
Pour ma part, superjuju45 a réussi à faire l'exercice, il n'y a que cela qui est important dans un forum d'entraide, plutôt que ces remarques inutiles, et je n'interviendrai plus sur ce post.
Bonsoir,
Je corrige mon erreur : M_n(k) est un anneau, pas l'ensemble des matrices nxm de manière générale.
J'en profite pour donner un coup de pouce : la question est :
p1,.....pr, nombres premiers, k1...kr entiers positifs étant donnés, quels sont les entiers x qui, élevé à une puissance m, que l'on peut choisir librement, x^m appartient à p1^k1.....pr^krZ, c'est-à-dire x^m est un multiple de p1^k1.....pr^kr ?
J'ai l'intuition que l'ensemble recherché est ()
(sans les puissance) mais je vous demande confirmation parce que je n'ai réussi à montrer qu'une inclusion.
(Un premier point : Z est un anneau principal.
En d'autres termes tous les idéaux de Z sont de la forme aZ avec a dans Z.
Un second : la décomposition d'un entier en facteurs premiers est unique.
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