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Niveau seconde
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Algorithme de Babylone.

Posté par
lamolle2
26-10-10 à 10:47

J'ai un DM a faire pendant les vacances sur un algorithme que je ne connais pas.
Nous ne l'avons pas vu en cours...
Alors j'ai essayé le debut de l'exercice mais blocage.
Merci de m'aider

Voici l'énoncé  :

Voici un algorithme de Calcul :
Entrée :Choisir un nombre A
Traitement :
- Calculer B = 1/2 (A+2/A)
- Remplacer A par B
- Recommencer l'étape 1 tant que la valeur obtenue est différente de la précédente.
Sortie : Afficher les résultats obtenus dans un tableau. (Voir Image)

1) Appliquer l'algorithme ci-dessus aux nombres suivants  : 4 ; 5 ; 10 et 100
Noter tous les chiffres affichés à l'écran de la calculatrice. Quelle Conjecture peut-on faire ?

2) Avec la Calculatrice, donner une valeur approchée de √2 à 10-9près et comparer cette valeur aux résultats obtenus.

3) Sans Calculatrice, montrer que si A = √2, alors B est aussi égal à √2

4) Résoudre l'équation x = 1/2 (x+2/x) d'inconnue x un réel positif.

Ce que j'ai commencé :

Pour le 1) , je ne comprends pas l'étape  3 donc je me retrouve bloquée...
Mais je pense avoir trouvé la conjecture qui donne un résultat proche de la moitié du nombre A

Pour le 2) Une valeur approchée de √2 à 10-9près  : 1.414213562
Pour comparer puisque je ne comprends pas l'étape  3 je n'ai pas fait...

Pour le 3):  
Si  : A= √2
      B= 1/2 (√2 + 2/√2) = 1/2 ( 2√2/2 + 2√2/2) = 1/2 fois 4√2/2 = 4√2/4 = √2

Pour le 4) :

            x = 1/2 (x + 2/x)
            x = (1/2)x + 1/2 fois 2/x
            x = 0.5x + 2/2x
            x = 0.5x + 1/x
   x - 0.5x = 1/x
       0.5x = 1/x
0.5x fois x = 1
       0.5 x2 = 1
           x² = 1/0.5
           x² = 2
            x = √2

Voilà, merci encore de m'aider
Et surtout dites moi si j'ai faux sur ce que j'ai fait.
Bisous & bonnes vacances.
Lamolle 2.

Ps: Le DM  est pour le 4Novembre..
            

Algorithme de Babylone.

Posté par
Porcepic
re : Algorithme de Babylone. 26-10-10 à 10:59

Bonjour,

Pour l'étape 3, en fait il suffit de regarder si la valeur de B que tu obtiens est égal à la valeur de B que tu as obtenu à la ligne avant (autrement dit, vu la construction du tableau, si B est égal à A). Dit encore autrement, il faut boucler ton algorithme jusqu'à ce que le résultat obtenu soit la valeur que tu aies rentré.

Par exemple, avec un tableur, voici ce que j'obtiens :

Algorithme de Babylone.

(dans la cellule A4 par exemple, j'ai simplement mis « =B3 ».

Tu te rends ainsi compte qu'au bout d'un moment, la valeur de A est é gale à la valeur de B (du moins avec la précision affichée, si on continue avec encore plus de chiffres avec la virgule, il faudrait certainement aller plus loin...) : ici, avec ce nombre de chiffres après la virgule, il faudrait arrêter l'algorithme lorsqu'on arrive à la case B7.

Tu constates par ailleurs que ce nombre est une bonne approximation de V2, chose que te permet de comprendre les questions suivantes (que tu as bien faites ! ).

Posté par
lamolle2
re : Algorithme de Babylone. 26-10-10 à 11:08

Merci beaucoup, maintenant j'ai bien compris. Encore merci.
Donc pour le 1), je refais le même tableau pour 5;10; et 100

Posté par
Porcepic
re : Algorithme de Babylone. 26-10-10 à 11:12

Oui, pour la question 1), il suffit de changer la valeur de A au départ par 5, 10 puis 100.
L'histoire de t'assurer que 4 n'est pas un cas particulier et que ça marche bien pour toute valeur de départ !

Posté par
lamolle2
re : Algorithme de Babylone. 26-10-10 à 11:21

OkOk, merci Merci.



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