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Algorithme des babyloniens ou de Heron

Posté par
emeline_2609
19-02-10 à 22:23

Bonjour a tous, j'ai un gros probleme que j'ai du mal a resoudre, l'enoncé est un peu long mais il n'y a que trois question :


Algorithme de Babylone ou Algorithme de Héron (Héron d'Alexandrie, 1er siècle de notre ère)
Une tablette d'Argile conservée à l'université d'Yale prouve que cette méthode était connue des Babyloniens. Elle a été attribuée à Archytas de Tarente vers 400 av. J.-C.
On peut lire dans cette tablette (après transcription en base 10, puisque l'original est rédigé en base 60) l'équivalent de : 2 = 1,414222, valeur qui ne diffère que de 0,000008 de la vraie valeur :                         2 = 1,414213562...
L'extraordinaire est qu'il fallut attendre la Renaissance pour en avoir une meilleure approximation ! Comment s'y sont-ils pris ?

Pour calculer a, par exemple 2, prenons en une première approximation quelconque : a1 soit a1 = 1,6.
Choisissons comme seconde approximation : b1 = aa1 soit b1 = 21,6 = 1,25.
Si a1 est trop petite, alors b1 sera trop grande et vice-versa, donc une approximation meilleure sera donnée par la moyenne : c1 = 12(a1 + b1) soit c1 = 12(1,6 + 1,25) = 1,425.
Et on recommence en prenant la valeur c1 pour a2.
On a donc a2 = 1,425 et b2 = aa2 = 1,4035... puis c2 = 12(a2 + b2) = 1,41425...
On répète le processus jusqu'à obtenir deux valeurs consécutives suffisamment proches et respectant la précision voulue.
Cet algorithme à l'avantage de "converger" très vite.

1) Utiliser la méthode des Babyloniens pour calculer une approximation décimale à 10-5 près de 5. Vous expliquerez pourquoi vous êtes certain d'avoir une valeur convenable.
2) Proposer sur votre calculatrice ou sur un tableur (du type Excel) un programme ou une démarche permettant d'obtenir une valeur approchée par cet algorithme.
3) Traduire l'algorithme géométriquement, c'est-à-dire interpréter géométriquement chacune des étapes de l'algorithme (calculer a1b1, a2b2, …) et construire géométriquement le processus proposé.


voila, pour la question 1 j'arrive a 2,236067978,
pour la question 2 je vois comment faire mais pour l'expliquer :@
et la question 3 je n'y arrive pas, le principe est de tracer des triangles, et grace a la formule de l'algorithme ' de les retrecir petit a petit mais je n'arrive pas a trouver les calcul n'y a l'expliquer...

si quelqu'un pouvait me donner un gros coup de main, ce devoir est pour lundi

en vous remerciant d'avance

Posté par
Coll Moderateur
re : Algorithme des babyloniens ou de Heron 20-02-10 à 08:10

Bonjour,

Tu aurais pu te relire et corriger les expressions mathématiques qui sont à peu près illisibles...

Comment l'expliquer ?
Imagine que tu demandes à un camarade de faire les calculs sous ta dictée.
Quels calculs doit-il faire et dans quel ordre ?
Comme il y a des calculs qui se répètent l'algorithme va avoir une boucle.
Pour l'arrêt de la boucle il n'est pas possible de connaître à l'avance le nombre d'itérations nécessaires, donc ce ne sera pas une boucle "pour ... de ... à ..." ; mais ce sera une boucle qui testera que l'approximation souhaitée est atteinte ; donc, a priori, une boucle "tant que ... alors..."

Posté par
Coll Moderateur
re : Algorithme des babyloniens ou de Heron 20-02-10 à 10:02

Comment as-tu obtenu 2,236 067 978 à la première question ?
Cela ne répond pas vraiment à la question posée (approximation décimale à 10-5 près de 5)



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