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Algorithmique: Tricherie
Un professeur demande à ses élèves de lancer une pièce de monnaie 50 fois et de consigner la liste des résultats "pile"(P) ou "face"(F).
Voici la liste de David: PFPPFPFFFP PFPFFPPFPP FFPPFFPPFF PFPFFFPPFP PFFFPPfPFF.
1.Calculer la fréquence d'apparition du "pile".Ce résultat semble-t-il cohérent avec l'équiprobabilité théorique de cette expérience?
2.Le professeur n'est pas satisfait;il affirme que David a probablement triché et n'a pas lancé la pièce.David ne comprend pas comment le professeur a pu s'en rendre compte. Pour convaincre David , le professeur propose de programmer l'algorithme ci-contre sur sa calculatrice.
PROGRAM
ILE
: 0
B
: 0C
: For(I,1,50)
: entAléat(0,1)A
: If A=1
: Then
: B+1B
: Else
: If B > C
: Then
: BC
: End
: 0B
: End
: End
: Disp C
a.Comment le programme propose-t-il de simuler un "pile" ou "face"?
b.En supposant que les quatre premières simulations donnent dans A les valeurs 1-1-1-0, quelles seront les valeurs de B et C lorsque le programme recalculera une nouvelle valeur de A ?
c.Quel est le rôle des variables B et C ?
3.En faisant tourner le programme ,voici ce que David obtient sur sa calculatrice.
a.En regardant la liste de David comprend-on l'argument du professeur?
b.David aurait-il pu obtenir ces résultats sans tricher ?
Bonjour,
voici ce que David obtient sur sa calculatrice.
Pour info: exercice 47 page 312 de Odyssée 2e
Fait
6
Fait
5
Fait
12
Fait
Quelle question vous pose un problème ?
: 0 -> B
: 0 -> C
: For(I,1,50)
: entAléat(0,1) -> A
: If A=1
: Then
: B+1B
: Else
: If B > C
: Then
: B -> C
: End
: 0 -> B
: End
: End
: Disp C
: If A=1
: Then
: B+1 -> B
B est un compteur de 1
: If B > C
: Then
: B -> C
on garde dans C la valeur B la plus grande
: If A=1
: Then
: B+1B
: Else
: If B > C
: Then
: B -> C
: End
: 0 -> B
: End
Donc si A=0 on conserve dans C la plus grande valeur de B puis le compteur B est remis à zéro
Par exemple :
A=0110011111010011100001
B=0120012345010012300001
C=0002222222555555555555
: 0 -> B
: 0 -> C
: For(I,1,50)
: entAléat(0,1) -> A
: If A=1
: Then
: B+1 -> B
: Else
: If B > C
: Then
: B -> C
: End
: 0 -> B
: End
: End
: Disp C
C donne la longueur de la plus longue série de 1
Pile si A=1 et face si A=0 (ou l'inverse Face si A=0 et Pile si A=1)
Mais comme la probabilité du face = probabilité du pile = 1/2, peu importe.
1.Calculer la fréquence d'apparition du "pile"
Comme on parle du pile, il est logique de dire que A=1 est pile.
Merci mais je ne comprend pas le but de l'algorithme. Le professeur essaye de prouver que David a triché.En quoi l'algorithme prouve cette hypothèse.
Si David avait répondu
PFPFPFPFPFPFPF...
c'est très peu crédible
comme
PPPPPPPPPPPPPP....
ou
FFFFFFFFFFFFFF....
L'algorithme montre qu'un tirage aléatoire est beaucoup plus varié que la proposition de David.
Sur 50 lancés, il y a au moins une série de 5 piles consécutifs. Pour David on plafonne à 2 !!
b.David aurait-il pu obtenir ces résultats sans tricher ?
Oui, comme on peut gagner au loto, c'est peu probable.
Voici une série de vingt simulations de 50 lancés
***Algorithme lancé***
8 4 3 3 4 6 3 4 3 2 5 4 4 10 5 2 3 6 5 6 (min :2)
***Algorithme terminé***
une autre:
***Algorithme lancé***
3 3 4 5 4 3 7 5 3 6 6 7 6 3 4 3 3 7 5 8 (min :3)
***Algorithme terminé***
une autre
***Algorithme lancé***
4 5 14 5 6 4 4 3 4 5 3 7 7 4 6 7 3 5 4 7 ( min :3)
***Algorithme terminé***
Fait
6
Fait
5
Fait
12
C'est le résultat de 3 exécutions de l'algorithme qui nous laisse penser que la série de David est peu probable.
a.En regardant la liste de David comprend-on l'argument du professeur?
La liste de David est trop régulière pour être honnête. Un vrai tirage aléatoire est plus varié.
b.David aurait-il pu obtenir ces résultats sans tricher ?
Oui, mais probabilité est faible
exemples:
***Algorithme lancé***
FPFPPFPFFFFFPFFFFPPFPPFPFFPFFPFFPPPFFPFFPPFFPFPFPF C=3
FFPPFPFFPPPPFPPPPPFFPFFFPPPFFPPPPFFPPFFPPFFFPPPPFF C=5
FPPPFFPFPPPFPFPFPPPPPFFFFFPFFFFFPPFPPPPPFPPFPPFPFF C=5
PPPPFFPFFPPFPPFPPFPFFFPPFPPFFFFFPFFPPPPFFPFFPFPFPP C=4
PFPFPFFPPFPPFFPPFFFPPPPFFPPFPFPPPFPFFFFFFPPFPFFFPP C=4
FFPPPPFPFFPFFFFPFPPFPFPFPPFPFFPPPPPFFFFFPPPPPFPFFP C=5
PFFPPFFPPFFFFPPFPFPFPPPFPFFPFFFPFFFFFPPFPPPFFFPPFF C=3
FPFPPFFFFPPPFFFPPFFFPPFFPFPFPFFPFFPPPFPFPFFPPPPFPP C=4
FFFFFFFFPPFPPFPFPPFFPPFFFPPFPFPPFFFPFPFPPFPPPFFPFF C=3
FFFPPPPFPPFFFPFPFPFFPPPFFFFFPFFPFPPPPFPFPFPFFFPFFP C=4
PFPFFFPFFPPPPPPFFPFPFFPPFPFFPFPPFFFPPPPPFFPFFPFPPF C=6
PPPPPPFPPFPFPFPPFPFPFFPPPFFFFPPFPPPFFFPPPPFFFFFPPP C=6
PFFPPFFPFFFPFFPPFFFFFFPPFFFFPPPPFFFPPPPFFFFPPFPPPP C=4
PFPPPFFFPFFPFPFFFFPPFFPFPPPPFPFPPPPFPFPPPFFPPFFFPP C=4
PFFPFPPFFFPPFPFFFFPPPFFFFFFPPPFFPFFFPFPPPFPFPPPFFP C=3
FFPFPFPPFPPPFPPPFPFPPFPFPFPPFPFPFFPFPPPPPPPFPPFPFP C=7
PFPPFPPFPFFFFPFFFPFFPPPPPFFFPPFFPPFPPPPFPFPPPFPPFP C=5
PPPPPPPFPPFPFFPPFFPPPPFFPPFPFFFPFPPFPFFPPPFFFFFPFP C=7
FFFPFFPFPFFFPPPFFPPPFPFPFFPFPFFPPFPPPPPPPPPPFPPFPF C=10
PPPFPFFFFFPFFPPFPPPFFPPFPFPFPPPFFFFFPFPFPPPPFFPFFF C=4
***Algorithme terminé***
et David propose:
PFPPFPFFFPPFPFFPPFPPFFPPFFPPFFPFPFFFPPFPPFFFPPFPFF
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