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analyse

Posté par
fadia55 02-12-08 à 21:52

salut à vous tous
j'ai 1 éxo sur les nombres complexes: ils nous demandent de vérifier:
|Z1+Z2||Z1||Z2|
merci

Posté par
raymond Correcteurre : analyse 02-12-08 à 21:53

Bonsoir.

Il doit manquer un "+".

Posté par
fadia55re : analyse 02-12-08 à 21:53

|Z1+Z2||Z1|+|Z2|

Posté par
fadia55re : analyse 02-12-08 à 22:19

ALORS

Posté par
raymond Correcteurre : analyse 03-12-08 à 00:35

Alors voilà.

Je te propose une méthode géométrique.

Soit A le point d'affixe z1, B le point d'affixe z2.

On sait que le point C d'affixe z1 + z2 est tel que OACB est un parallélogramme ( règle d'addition des vecteurs).

Dans le triangle OAC, OA = |z1|, AC = |z2| et OC = |z1 + z2|

La règle de l'inégalité triangulaire : OA + AC < OC donne l'inégalité demandée.

Posté par
zskiredjre : analyse 03-12-08 à 11:39

il s agit pas justement de démontrer l'iégalité triangulaire ?

Posté par
raymond Correcteurre : analyse 03-12-08 à 11:58

Bonjour zskiredj.

Dans ce cas, on revient au produit scalaire sur IR² : < (x,y)|(x',y') > = xx' + yy' on montre (ou on suppose acquise)

l'inégalité de Schwarz et on démontre l'inégalité demandée qui est en fait l'inégalité de Minkowski :

|| X + Y || < ||X|| + ||Y||

Posté par
zskiredjre : analyse 03-12-08 à 13:03

oui mais tout ça c'est le meme résultat exprimé avec certains outils !
c est comme dire que cos(x) c est l'abscisse du cercle trigo, mais que c est aussi exp(x)+exp(-x) divisé par deux !

Posté par
zskiredjre : analyse 03-12-08 à 13:04

mais étant donné qu'il y a marqué BTS dans le niveau de la question, je pense que ta réponse avec la géométrie est largement suffisante ...

Posté par
raymond Correcteurre : analyse 03-12-08 à 13:12

Il y a peut-être aussi une voie calculatoire en posant z = a+ib, z' = c+id puis passer par les modules au carré en ayant en tête que |z|^2=z\bar z

Posté par
cailloux Correcteurre : analyse 03-12-08 à 14:14

Bonjour à tous,

La voie calculatoire:

On démontre que |Re(z\bar{z'})|\leq |z|\,|z'|:

z=re^{i\theta} et z'=r'e^{i\theta'}

z\bar{z'}=rr'e^{i(\theta -\theta')}

|Re(z\bar{z'})| = rr'|\cos\,(\theta-\theta')|\leq rr'


|z+z'|^2=(z+z')(\overline{z+z'})=(z+z')(\bar{z}+\bar{z'})

|z+z'|^2=z\bar{z}+z\bar{z'}+\bar{z}z'+z'\bar{z'}=|z|^2+2Re(z\bar{z'})+|z'|^2

|z+z'|^2\leq |z|^2+2|z|\,|z'|+|z'|^2

|z+z'|^2\leq \left(|z|+|z'|\right)^2

|z+z'|\leq |z|+|z'|

Posté par
fadia55re : analyse 03-12-08 à 18:26

merci à vous tous


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