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Niveau Maths sup
Analyse combinatoire avec la formule du binôme de Newton
Posté par val07 (invité)
bonjour j'ai encore un autre problème!
je doit trouver le terme maximum dans le développement de (2+3)^50 par la formule du binôme de newton!
je sais que le terme que je dois trouver est superieur à 2^50 et aussi à 3^50.je sais que les termes central de la formule sont plus important car il sont multipliés par des coefficients!
Pour un degré plus petit j'aurai utilisé le triangle de pascal pour trouver les coefficients qui sont affectés mais pour ^50 je ne peux pas utiliser le triangle de Pascal!
je ne sais vraiment pas quelle méthode utiliser!
si vous avez uen idée de méthode merci beaucoup de me la soumettre!
Salut, val07.
les termes du dvpt du binôme sont de la forme k*2^x*3^(50-x), avec k le coefficient du binôme.
En étudiant les variations de la fonction x
2^x*3^(50-x) , on remarque que cette fonction est décroissante pour x variant de 0 à 50.
Après un calcul sur une machine un peu puissante, on voit que c'est le coefficient du binôme de rang 25 qui est le plus grand, de l'ordre de 1,3E14.
On est loin d'une démo, mais il semblerait que ce soit le terme de rang 25 le plus grand.
jeroM, je ne suis pas sûr de bien comprendre.
Pourquoi ne prends-tu pas en compte le coefficient du binôme dans ton étude de variation. Il dépend aussi de x (en reprenant tes notations), non ?
Nicolas
Salut Nicolas_75 ,
J'y ai fugitivement pensé, mais pour l'étude de variations, je ne sais pas dériver x!.
C'est pour cela que je suis passé par un calcul sur machine pour avoir une estimation des coefficients du binôme.
Comme je le disais, on est loin d'une démo, mais c'est ce que j'ai trouvé de plus simple sur le moment.
Posté par philoux (invité)re : Analyse combinatoire avec la formule du binôme de Newton
Bonjour,
Un coup d'exel pour obtenir le terme en 2^21*3^29 qui vaut :
6 783 228 961 017 330 000 000 000 000 000 000
Philoux
Posté par val07 (invité)re : Analyse combinatoire avec la formule du binôme de Newton
moi aussi en calculant a "taton" j'avais pensé que le terme maximum est pour 25 mais en essayant pour des coafficient plus important j'ai remarqué qu'il se revélait ne pas être le plus important.
Comme philoux j'avais trouvé 2^21*3^29.
Merci à tous de votre aide maintenant il faut que je trouve comment expliquer cela grâce à la formule du binôme.
Posté par val07 (invité)re : Analyse combinatoire avec la formule du binôme de Newton
ben en fait la reponse c 2^19*3^31 tou ça multiplié par 19 parmi 50
Posté par biondo (invité)re : Analyse combinatoire avec la formule du binôme de Newton
Salut!
En effet, c'est bien le terme n.19 qui est maximum.
On peut par exemple etudier succinctement la suite definie par:
U_k = C50,k . 2^k. 3^(n-k)
(les termes du developpement par le binome).
Alors on peut regarder U_(k+1)/U_k.
Cela vaut en fait
102/(3.(k+1)) - 2/3
Et on etudie facilement cela pour montrer que lorsque k est inferieur a 19, cette expression est superieure a 1, donc que la suite est croissante. Puis la suite decroit. le plus grand terme est donc le 19 eme...
A+
biondo