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analyse des fonctions

Posté par
bouchaib 07-12-19 à 21:57

bonsoir,
je voudrais me corriger s'il y a erreur . merci d'avance .
on nous a demandé de calculer les limites aux bornes de la fonction suivantes,
f(x)=\frac{1+ln(x)}{(x+1)^{2}},
J'ai procédé de la façon suivante :
- j'ai calculé la limite de 1/(x-1)2 qd x tend vers( +infini), l=0
puis j'ai fait un changement de variable pour le reste : X= 1/(x-1), (x-1)=1/X, donc qd x+, on a( X)0,
lim \frac{ln(x)}{(x-1)^2}=lim (\frac{1}{x-1})\frac{ln(x)}{(x-1)},
donc la limite après ce changement de variable est :   lim(\frac{ln(\frac{1}{X}+1)}{\frac{1}{X}})\frac{1}{1/X}  qd (X) 0.
donc 10.
En tenant compte de tout lim(f(x))=0 au voisinage de +
Merci de m'orienter s'il y a une autre piste.

Posté par
Zormuchere : analyse des fonctions 07-12-19 à 22:07

Bonsoir

Tout repose sur les croissances comparées et la limite de ln(x)/x en x->+infini

\dfrac{1+\ln{x}}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}+\dfrac{\ln{x}}{(x+1)^2}

Posté par
bouchaibre : analyse des fonctions 07-12-19 à 22:25

s'il vous plait , je n'ai pas bien compris .
Pardon et merci

Posté par
Zormuchere : analyse des fonctions 07-12-19 à 22:26

Je t'ai donné une façon de réécrire f(x), maintenant à toi de voir si cette écriture t'aide à trouver la limite. Je t'ai aussi donné l'indice d'utiliser la limite de ln(x)/x lorsque x tend vers +infini

Posté par
bouchaibre : analyse des fonctions 07-12-19 à 22:28

j'ai au dénominateur (x-1)^2. pardon

Posté par
gerrebare : analyse des fonctions 07-12-19 à 22:29

Bonsoir,
Zormuche a séparé en deux "quotients" ..La limite en + l'infini du premier est évidente.
Pour l'autre,il faut faire intervenir lnx /x ou lnx/x² pour conclure.

Posté par
Zormuchere : analyse des fonctions 07-12-19 à 22:30

ça ne change quasiment rien pour l'exercice

Posté par
bouchaibre : analyse des fonctions 07-12-19 à 23:09

pardon je n'ai pas pu voir  une  démarche autre que celle d'en haut.
vraiment bloqué. j'ai tenté des changement de variable plus simple , je n'en ai pas vu.
merci et pardon encore.

Posté par
Zormuchere : analyse des fonctions 07-12-19 à 23:25

il n'y a pas besoin de changements de variable, il suffit de calculer la limite quand x tend vers +infini de
  \dfrac{1}{(x-1)^2}+\dfrac{\ln{x}}{(x-1)^2}

Posté par
bouchaibre : analyse des fonctions 08-12-19 à 00:00

une idée  svp :
lim(\frac{Ln(x) }{x^2{(1-(2/x)+(1/x^2))}})=0\times 1=0 au voisinage de  +
est-ce- ce que à quoi je dois penser.
merci

Posté par
Zormuchere : analyse des fonctions 08-12-19 à 00:16

Tu connais la limite de ln(x)/x quand x -> +infini ?

Posté par
bouchaibre : analyse des fonctions 08-12-19 à 00:24

c'est 0 . mais moi j'ai ln(x)/(x-1)^2
pardon !

Posté par
Zormuchere : analyse des fonctions 08-12-19 à 00:40

Et bien, que dire de (x-1)^2 par rapport à x ?

Posté par
bouchaibre : analyse des fonctions 08-12-19 à 00:54

(x-1)^2>x car x tend vers l'infini sinon il faut distinguer les cas .

Posté par
Zormuchere : analyse des fonctions 08-12-19 à 01:34

Cette inégalité est vraie, mais pas toujours. Mais elle est vraie au voisinage de +infini c'est ce qui compte. Disons qu'elle est vraie pour tout x>3 (c'est vrai).
Donc qu'est-ce qu'on deduit ?

Posté par
bouchaibre : analyse des fonctions 08-12-19 à 06:27

Donc lim de notre expression est devenue une forme usuelle =0 aussi

Posté par
bouchaibre : analyse des fonctions 08-12-19 à 06:31

Bonjour tout d'abord.
Je me demande est-ce le calcul le plus simple de cette limite ?
Merci .
Belle journée á vous tous.

Posté par
bouchaibre : analyse des fonctions 08-12-19 à 07:41

bonjour ,
d'après le tableau des signes (x-1)^2> x si x> \frac{3+\sqrt{5}}{2}   et   c'est   environ  2.6180 donc on peut parler aussi de >3.
est-ce- juste?
Merci et très bon réveil.


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