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angles,devoir de math pr mercredi 17 mars
Soit ABC un triangle rectangle en A.On suppose que l'angle B=`pi/8rad.On note BC=10cm et O milieu de [BC].On considère [AH] hauteur du triangle ABC.
1) calculer en radians les mesures des angles du triangle AHO,quelle est la nature de ce triangle
2) calculer la longueur de ses cotés.
3) calculer les longueurs BH et CH.
4) calculer les longueurs AB et AC.
5) en déduire les valeurs exactes de sinpi/8 et cospi/8
Bonjour Lolo 
- Question 1 -
Dans un triangle, la somme des mesures das angles vaut 
,
donc :
dans le triangle ABC, on a :
ABC + BCA + CAB =
/8 + BCA + /2 =
BCA = 3/8 rad
Comme O est le milieu de [BC], hypoténuse du traingle ABC rectangle en
A, alors O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
On a donc : OC = OA.
Le triangle OAC est isocèle en O (OCA = CAO). On a :
2 OCA + AOC =
AOC = - 2 × 3/8
= /4
Et on en déduit la mesure de l'angle HAO :
HAO + AOH + OHA =
HAO = - /4 - /2
=/4
Come HOA = HAO = /4 rad, alors le triangle HAO est un triangle
rectangle et isocèle en H.
- Question 2 -
On a vu que AO = OC, donc :
AO = 1/2 × 10 = 5
AO = 5 cm
Dans le triangle AHO rectangle en H, on a :
cos AOH = OH/AO
OH = AO cos AOH
= 5 × cos /4
= 5 
2 /2
Donc :
OH = AH = 5 2 /2
- Question 3 -
BH = BO + OH
= 5 + 52/2
CH = BC - BH
= 10 - (5 + 52/2)
= 5 - 52/2
- Question 4 -
Dans le triangle AHB rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore
:
AB² = BH² + AH²
= [(10 + 52)/2]² + (52/2)²
= (100 + 1002 + 50 + 50)/4
= (200 + 1002)/4
= 50 + 252
= 25(2 + 2)
AB = 5(2+2)
Dans le triangle AHC rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore
:
AC² = HC² + AH²
= ((10 - 52)/2)² + (5 2 /2)²
= (100 - 1002 + 50 + 50)/4
= (200 - 1002)/4
= 50 - 252
= 25(2 - 2)
AC = 5(2 - 2)
- Question 4 -
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
cos ABC = AB/BC
Donc :
cos /8
= 5(2+2)/10
= (2+2)/2
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
sin ABC = AC/BC
Donc :
sin /8
= 5(2-2)/10
= (2-2)/2
A toi de tout reprendre, bon courage ...
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