Salut cauchy

En lisant la définition sur wikipédia, il me semble que l'on peut affirmer que les Z/nZ pour n non nul sont artiniens non?

La CNS suivante est-elle correcte : A artinien si et ssi A noetherien et de dimension de Krull égale à 1 ?

Auto correction : dimension de Krull nulle.

Salut,

je n'ai jamais utilise cette notion de dimension de Krull, tu la sors d'ou cette CNS?

Bien Z/nZ est fini, donc c'est trivial.

Tiens, il me semblait avoir vu en Licence que ces notions étaient équivalentes entre elles, et qu'elles équivalaient encore à "Toute suite croissante d'idéaux est stationnaire".

C'est faux ça?

C'est la définition de noethérien cela, c'est équivalent à tout idéal est de type fini.

Mais il existe des anneaux noethériens non artiniens, exemple Z qui est même principal mais on peut construire une suite décroissante d'idéaux non stationnaire.

Ah oui t'as raison c'est trivial dans ce sens.
D'accord donc artinien c'est plus fort que noethérien?

Oui c'est ce que je demande de montrer

Bonjour,

Je crois que la démonstration n'est pas immédiate.

Pour un exemple d'anneau artinien, il suffit de prendre un corps.
Cet exemple n'est pas si bête que ça, car c'est le seul dans le cas intègre.

Démonstration :
Soit A artinien et intègre et soit x non nul dans A.
La suite décroissante d'idéaux Axⁿ est stationnaire.
Pour un certain n, on a donc Axⁿ = Axⁿ⁺¹.
Il existe donc y tel que xⁿ = yxⁿ⁺¹, ou encore xⁿ(1 - yx) = 0.
Comme A est intègre, 1 - yx = 0, donc x est inversible et A est un corps.

Cordialement
Frenicle

Bonjour frenicle,

intéressant ce résultat, merci.
Je me permets juste de rectifier une erreur d'ordre des facteurs(ce qui ne change strictement rien à l'affaire):

Dans Wikipedia, un anneau artinien est supposé commutatif et unitaire.

Bonjour,


oui intéressant, c'est un peu comme cela qu'on montre que Z n'est pas artinien.

frenicle tu as pas un lien ou une référence pour la démo de artinien-->noetherien?

Sinon, oui, je crois que tout anneau artinien est noetherien, mais ce n'est pas immédiat à prouver. Il faut que je regarde dans mon vieux Zariski & Samuel.

Cordialement
Frenicle

Ca y est j'ai mis la main sur la démo dans Zariski Samuel.

Il y a un th. qui s'énonce :
Soit R un anneau unitaire. R est artinien ssi R est noetherien et tout idéal premier de R différent de R est maximal.

Pour la démo, ils montrent d'abord que si (0) est un produit d'idéaux maximaux P1.P2...Pn, alors artinien équivaut à noethérien.
(Ils considèrent la suite R P1 P1.P2 ... P1.P2...Pn =(0) et utilisent un résultat sur les suites de composition).

Puis ils prouvent le théorème.

Tout ça est long, et je dois partir, je n'ai vraiment pas le temps de t'en dire plus, désolé.

Cordialement
Frenicle

Ah oui la référence c'est Zariski Samuel, Commutative Algebra, Van Nostrand.

Bonjour tout le monde,

Je peux donner une précision sur la dimension de Krull.

Précisément, un anneau est de dimension de Krull d si toute suite croissante d'idéaux premiers non maximaux a au plus d éléments. Ceci a l'air cohérent avec ce que dit frenicle qui justement affirme que tout idéal premier est maximal, donc d=0.

Quant aux anneaux artiniens, je suis loin dans l'espace de ma base et dans le temps de l'époque ou j'ai vu ça, donc je ne peux pas être très utile...

Bonsoir tout le monde,

il y a une chose que je ne comprends pas.
Comme me l'a fait remarquer Cauchy, Z n'est pas artinien.

Pourtant il est noethérien et tout idéal premier de Z est aussi maximal puisque de la forme pZ avec p premier...
ce qui semble contredire le théorème énoncé par frenicle.

Merci de vos éclaircissements.

Tigweg

Salut tout le monde,

oui effectivement c'est bizarre

Donc les Mathématiques s'écroulent?

Ou alors on peut aussi considérer l'idéal trivial (0) qui est premier car Z est intègre mais non maximal car il y a des idéaux maximaux non triviaux.

Comment on caractérise un anneau qui possède des idéaux maximaux non triviaux?

Ah oui ok pour (0), mais cela voudrait dire qu'un anneau artinien non nul ne peut pas être intègre!(c'est pas louche, ça?)

Pour ta question, j'ai l'impression que cela caractérise tout simplement les anneaux qui ne sont pas des corps:

en effet, dire que l'anneau A n'est pas un corps équivaut à dire qu'il possède des idéaux non triviaux, et le théorème de Krull permet d'inclure cet idéal dans un idéal maximal non trivial.
A moins que mes énoncés soient erronés.


Tigweg

Oui comme frenicle nous l'a démontré, les seuls anneaux artiniens intègres sont les corps.


Arf oui je l'avais oublié ce bon vieux Krull

C'est beau les anneaux quand même

Oui!
Mais je ne connais pas une seule notion inintéressante en maths, en même temps!
(Avec une exception tout de même:l'analyse numérique.Mais sont-ce bien des Mathématiques? )

Eh bien si on reproduit la démo de fénicle, ne suffit-il pas de considérer f holomorphe non nulle mais ayant un zéro, par exemple f(z)=z.

alors en notant H l'ensemble des fonctions entières, la suite d'idéaux Hfⁿ est strictement décroissante mais pas stationnaire,sinon le raisonnement de fenicle prouverait que f est inversible, ce qui n'est pas(comme on dit dans les bouquins sérieux)


Tigweg

Pardon frenicle, j'ai écorché ton nom

Oui c'était tout simple, ca m'est venu pendant l'entrée(j'étais parti manger ).

Est-il noetherien?

T'es jamais à court toi!

Je pense que l'idéal engendré par les fonctions entières n'est pas de type fini,
donc que H n'est pas noethérien.

Qu'en penses-tu?

Mince c'est faux, 2 d'entre elles suffit à engendrer toutes les autres par combinaison linéaire.

Il doit bien y avoir moyen de trouver un idéal qui ne soit pas de type fini dans ce grand machin informe qu'est H!

suffisent*

Ton idéal est H tout simplement non?

Vu qu'il contient z et z-1 donc 1 donc toute fonction holomorphe?

Oui, c'était grossièrement faux.
En revanche, les fonctions me semblent plus probantes.

Et à toi?

Qu'est-ce qui motive ce choix?

Je vois pas de manière triviale pour dire si ca marche ou non

Eh bien l'étude de leurs zéros.

f1 a pour zéros l'ensemble Z1 des 2ik, f2 l'ensemble Z2 des racines carrées complexes des 2ik, etc...

Aucune famille Zn n'est incluse dans une famille Zm pour m différent de n, ni dans aucune réunion du type Zi.

Du coup l'idéal Hf1+Hf2 par exemple ne peut pas être engendré par un seul élément, sinon f1 serait multiple de f2 ou le contraire, ce qui est impossible si ni Z1 ni Z2 n'est inclus dans l'autre.

Tout cela reste très intuitif, à confirmer donc!

Oui c'était bien ce que je pensais mais après faut le formaliser

Mais bon ta dernière affirmation comme quoi f1 serait multiple de f2, pas forcément si le générateur est différent de f1 et f2.

En gros s'il était finement engendré, on prend une des f_n différents des générateurs et il faut montrer que:

est impossible où les

sont holomorphes.

Oui,c'était V_i pardon!

Déja avec une seule fonction , tu peux conclure?

Je vais me doucher, ça me donnera peut être des idées

Oui, je crois que c'est facile s'il n'y a qu'un terme:

il existe un zéro a de qui n'est pas zéro de f.

Alors le second membre évalué en a donne 0, mais pas le premier!

Mais bon ce n'est pas généralisable sous cette forme je pense!

Salut,




_{Pardon de polluer :embarras , mais TW go pour go?}

Kuider.

Salut Kuid!
Tu ne pollues pas, pas d'inquiétude!

Tu peux demain soir plutôt?
Là je vais pas tarder à aller me coucher,Cauchy m'a épuisé!

_{Je t'ai attendu hier soir au fait!}

Merci pour le lien, ce n'est malheureusement pas sur la défnition qu'on butait!

Salut Greg

Désolé pour hier ..un peu trop fait la fête

Ok pas de probléme, on remet ça à demain même heure?

Kuider.

TW>>en fait, le lien c'était pour rester dans le sujet

Kuider.

Oui, impeccable pour moi!
Tigweg

T'as rejoué au fait depuis?

Oui, j'y ai rejoué une fois ce matin, je me suis encore fait battre d'arrache pied

C'est pour sa qu'il faut qu'on joue ensemble, pour que tu me montre quelques trucs

Kuider.