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Anneau des polynomes dans C

Posté par
robby3 29-09-07 à 22:40

Bonjour à tous,j'ai encore besoin de votre aide pour un exercice:

On désigne par z un nombre complexe.
Soit f l'application:
f:C[X]->C
  P(X)->P(z)

1)Montrer que f est un morphisme d'anneau
2)Montrer que f est surjectif
3)Déterminer Ker(f)
4)Montrer que C[X] est le seul idéal de C[X] qui contient strictement Ker(f)
5)Montrer que R=\frac{C[X]}{(X-z).C[X]}est un anneau isomorphe à C.
Quels sont les éléments inversibles de R pour la multiplication.

alors pour Ker(f)j'ai (X-z).C[X]
je bloque à la 4) et à la fin de la 5...les éléments inversibles de R pour la multiplication...je sais pas du tout,je visualise pas bien comment sont les éléments de R en fait...

Merci d'avance de votre aide.

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 22:45

Bonsoir robby

Pour la 4), utilise le fait que \Large{\mathbb{C}[X]} est principal.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 22:47

Pour la 5), ce quotient étant isomorphe à \Large{\mathbb{C}}, tu devrais pouvoir répondre à la question sans trop de difficultés.

Kaiser

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 22:49

Bonsoir Kaiser,
C[X] est principal donc ker(f) est un idéal principal cad engendré par un unique élément,en l'occurrence (X-z) sauf erreur...
En quoi cela répond t-il à la question?

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 22:55

ça tu le sais déjà.
Applique le résultat que je t'ai énoncé à un idéal I qui contient strictement Ker(f), afin de montrer que \Large{I=\mathbb{C}[X]}.

Kaiser

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:02

donc on prend I un idéal de C[X] contenant strictement ker(f).

I est principal donc engendré par un élément de C[X],on a clairement I inclus dans C[X].
faut montrer l'autre inclusion?

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:04

(pour la question 5) c'est bien ce que l'on appelle U cad l'ensemble des complexes de modules 1 ???

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:05

Il faut quand même utiliser le fait que le noyau est inclus dans cet idéal.

D'après ce que tu dis, il existe donc un polynôme unitaire P tel que \Large{I=P\mathbb{C}[X]}.

On a donc \Large{(X-z)\mathbb{C}[X]\subset P\mathbb{C}[X]}.

Qu'en déduis-tu ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:09

Citation :
c'est bien ce que l'on appelle U cad l'ensemble des complexes de modules 1 ???


euh .. non.
les éléments inversibles s'appellent les unités de l'anneau.
Sinon, tu n'as pas besoin de savoir à quoi ressemblent les éléments de cet anneau pour déterminer les inversibles. Il suffit de donner un argument (la réponse tient en à peine une ligne).

Kaiser

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:09

que le polynome P divise (X-z) ??

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:10

oui.
et donc que peut valoir P ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:11

C est un corps,c'est un anneau integre fini,tout élément sauf 0 est inversible non??

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:13

P /(X-z) donc P peut valoir (X-z),c'est ça que tu veux me faire dire??

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:14

Je suis totalement d'accord avec toi mais, comment ça "fini" ?
Bref, avec ça, tu en déduis la réponse à ta question.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:14

Citation :
P /(X-z) donc P peut valoir (X-z),c'est ça que tu veux me faire dire??


justement, est-ce que c'est possible ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:14

sinon come P/ (X-z),il existe Q dans C[X] tel que P.Q=(X-z).

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:16

ce n'est pas la peine d'écrire ça. Les diviseurs unitaire de X-z, y'en a pas tellement, non !

Kaiser

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:20

(donc c'est C* les inversibles...)
bah ce ne serait pas possible parce qu'il le contient strictement???
comme I=P.C[X] contient strictement Ker(f)=(X-z).C[X], P ne peut etre égale à (X-z).

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:25

Citation :
(donc c'est C* les inversibles...)


ce sont les inversible de \Large{\mathbb{C}} mais quels sont les inversible de ton anneau quotient ?

Citation :
bah ce ne serait pas possible parce qu'il le contient strictement???
comme I=P.C[X] contient strictement Ker(f)=(X-z).C[X], P ne peut etre égale à (X-z).


c'est ça, et donc que vaut nécessairement P ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:28

bah je sais pas,P vaut 1?? (1 divise bien (X-z) )

les inversibles de mon anneau quotient c'est donc R*=R-{le polynome nulle de C[X] }

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:31

Citation :
bah je sais pas,P vaut 1?? (1 divise bien (X-z) )


oui, on n'a pas le choix. Les seuls polynômes unitaire qui divisent X-z, c'est X-z et 1.
Maintenant, tu peux conclure.

Citation :
les inversibles de mon anneau quotient c'est donc R*=R-{le polynome nulle de C[X] }


plus précisément, on enlève la classe du polynôme nul.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:33

Citation :
les inversibles de mon anneau quotient c'est donc R*=R-{le polynome nulle de C[X] }


L'argument principal qu'il faut effectivement avancer est que cet anneau est isomorphe à un corps (via un isomorphisme d'anneaux) donc c'est un corps.

Kaiser

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:34

Ok!!
C'est compris!
Merci bien Kaiser!

et encore une petite question,si on fait ça dans CxC par exemple,
cad on définit g:C[X]->CxC
g(P(X))=(P(z),P(z2))

alors on a bien un morphisme d'anneau,ker(g)=(X-z)(X-z2).C[X] et les idéaux qui contiennent strictement ker(g) y'aura toujours que C[X] ???

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:36

Citation :
L'argument principal qu'il faut effectivement avancer est que cet anneau est isomorphe à un corps (via un isomorphisme d'anneaux) donc c'est un corps.

>>OK!! trés bien,l'isomorphisme transporte la structure de corps de C sur R=C[X]/(X-z).C[X].

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:44

en supposant que z et z2 sont distincts, le noyau de g est bien ce que tu as écrit mais le résultat sur les idéaux que tu énoncé est faux.
En effet, ce noyau contient est inclus dans les idéaux \Large{(x-z)\mathbb{C}[X]} et \Large{(x-z_2)\mathbb{C}[X]}.

En fait, les seuls idéaux qui possèdent cette propriété sont exactement ceux du type \Large{(X-a)\mathbb{C}[X]} avec a un complexe, et bien sûr l'idéal \Large{\mathbb{C}[X]}.

Plus généralement, si \Large{\mathbb{K}} est un corps, alors les seuls idéaux de \Large{\mathbb{K}[X]} (qui, entre parenthèses, est principal) qui possèdent cette propriété sont \Large{\mathbb{K}[X]} et ceux du types \Large{P\mathbb{K}[X]} avec P un polynôme irréductible.

Kaiser

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:49

ah oué d'accord,donc en fait là,les seuls idéaux qui contiennent strictement Ker(g) sont (X-z).C[X] et (X-z2).C[X]...
Ah oué ok,j'ai pigé!!
Merci bien Kaiser encore une fois!!
Bonne fin de soirée,je reviendrais poster un exo demain

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:53

Mais je t'en prie !

Citation :
les seuls idéaux qui contiennent strictement Ker(g) sont (X-z).C[X] et (X-z2).C[X]...


et \Large{\mathbb{C}[X]}

Kaiser

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes dans C 29-09-07 à 23:55

ah oui je l'avais oublier celui là!!

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes dans C 30-09-07 à 00:01

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes dans C 30-09-07 à 00:07

euhh Kaiser,je voudrais pas abuser de ta bonne volonté mais s'il te reste un tout ti peu de temps avant d'aller dormir,tu pourrais jeter un coup d'oeil là: Algebre linéaire:partie multiplicative
Merci déjà de m'avoir aidé.


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