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Algebre linéaire:partie multiplicative

Posté par
robby3 23-09-07 à 17:08

Bonjour à tous,j'aurais besoin d'un gros de pouce sur cet exercice:

Soit A un anneau intégre et soit \rm f\in A-(0) \\ \\ On pose S=(f^n,n\in N} et A_f=S^{-1}.A \\ \\ 1)Soit \phi:A[X]\longrightarrow A_f donne par: \\ \\ \phi(\Bigsum_{k\in N}a_kX^k)=\Bigsum_{k\in N} a_k.(\frac{1}{f})^k \\ \\ Prouver que \phi est un morphisme d'anneau surjectif \\ \\ 2)Soit P\in Ker(\phi).Montrer qu'il existe Q\in A[X] et n\in N tel que f^nP=(fX-1)Q \\ Montrer que l'on peut supposer n=0. \\

j'ai seulement réussi à montrer que c'était un MA...la surjectivité me pose probleme.
Merci d'avance de votre aide.

Posté par
raymond CorrecteurAlgebre linéaire:partie multiplicative 23-09-07 à 17:34

Bonjour.

Je pense que tu supposes A commutatif ?

Soit 2$\textrm y\in{S^{-1}}.A. Alors 2$\textrm y = a.\fra{1}{f^p}

Le monôme a.Xp est un antécédent de y.

A plus RR.

Posté par
robby3Algebre linéaire:partie multiplicative 23-09-07 à 17:40

on va supposer que a est commutatif parce que c'est pas dit dans l'énoncé...

Citation :
Soit y dans S^-1.A Alors y=a.(1/f^p)

Le monôme a.Xp est un antécédent de y.

>>Oui je suis d'accord,et ça ça montre que c'est surjectif??

Posté par
ottore : Algebre linéaire:partie multiplicative 23-09-07 à 17:45

Quelle est la définition de surjective ?

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 23-09-07 à 17:48

bah ça dépend de laquelle on prend...enfin moi je pensais utiliser ici le fait que Im(phi)=Af...
Im(phi)={y dans Af/ il existe x dans A[X], phi(x)=y}

C'est ce qu'on fait là??

Posté par
raymond Correcteurre : Algebre linéaire:partie multiplicative 23-09-07 à 18:17

Bonjour otto.

robby3 > mon dernier post prouve que : tout y de Af possède au moins un antécédent dans A[X].

A plus RR.

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 23-09-07 à 20:58

ok!!
Bon bah c'était pas trés compliqué...je bute trés ouvent sur des questiosn de surjectivité!!C'est trop bete!
Merci à toi Raymond!!Et Bonne soirée.
Je réfléchirais à la suite demain soir.

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 24-09-07 à 17:52

Bonjour tout le monde,
Question 2)
P dans ker(phi) donc phi(P)=0 donc tout les coefficients ak sont nuls...aprés bah je sais pas trop quoi faire.

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 24-09-07 à 18:28

erreur de ma part...1/f annule le polynome P!!

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 24-09-07 à 19:08

Tiens donc,en feuilletant mon cours,que trouvais-je?

comme P(1/f)=0 on a (X-1/f)/P(X) donc il existe Q dans A[X] telque P(X)=(x-1/f).Q(X)
Soit f.P(X)=(fX-1).Q(X)...on y est presque là non?

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 24-09-07 à 21:08

personne ne voit??
Remarquez,moi non plus...
D'ou sort-il ce n!!!

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 24-09-07 à 21:20

on pourrait peut-etre le voir come une propriété de récurrence...
c'est vrai pour n=1...
On suppose vrai pour n...montrer que c'est bon pour n+1...mais je suis pas convaincu...

Posté par
H_aldnoerre : Algebre linéaire:partie multiplicative 24-09-07 à 21:29

lol ta perdu le temps !
moi je suis dans le calcul diff :p

Posté par
H_aldnoerre : Algebre linéaire:partie multiplicative 24-09-07 à 21:29

*pas perdu

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 24-09-07 à 21:37

bah moi comme j'ai dis,je bosse que l'algebre,le calcul diff je ferais ça plus tardnquand j'aurais de bon TD et que j'aurais la force de m'y plonger!!
mais l'algebre là ça commence à me souler...je sens que je suis pas loin mais je trouve pas!

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 24-09-07 à 21:44

bon bah j'abdique,je m'y pencherais demain!
Bonne nuit.
(@demin H,c'est quoi la salle?)

Posté par
H_aldnoerre : Algebre linéaire:partie multiplicative 24-09-07 à 22:01

121 !

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 25-09-07 à 08:15

Merci mais là j'étais dans les embouteillages alors bon,je suis parti à la BU...

Toujours pas d'idées pour la suite de l'exo?

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 25-09-07 à 08:51

humm les coefficients de Q sont dans S^(-1)A donc:
\rm Q(X)=\Bigsum_{j=0^d} a_j.(\frac{1}{f^n})^j)=P(X).f \\ \\ donc faut mettre tout au meme denominateur...
Mais ça bloque,j'ai essayé de multiplier tout par f^n^j mais ça n'apporte rien...

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 25-09-07 à 21:36

Bon!!
On a ça:

\rm \large f.P=(f.X-1).Q <=> f.(\Bigsum_{k\in N} a_k.X^k)=(f.X-1).(\Bigsum_{j=1}^{d} c_j.X^j) \\ \\ avec c_j=\frac{a_j}{f^{n_j}} et d<n

Donc voilà,faut que je m'en sorte pour avoir
\rm \large f^n.P=(f.X-1).Q

Il faut que:

\rm f^p.c_j \in A \forall j
donc je me dit qu'il faut muliplier par 1/f^p pour que 'lon ait ce que l'on veut...

Quelqu'un a t-il suivi l'histoire? Et quelqu'un peut-il m'aider?

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 25-09-07 à 22:05

aie je me suis encore fourvoyé!!

si je multiplie par \rm f^{n_j-p} c'est ok non?

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 25-09-07 à 23:06

bon bah c'est pas bon,faut que ça soit vrai pour tout j...donc faut pas que ça dépende de j...
Je commence à saturer sur ce probleme!

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 26-09-07 à 17:03

un petit UP,aprés qu'on m'ai donné quelques explications,j'ai encore du mal...voyer plutot:

\rm Je veux multiplier le polynome par une puissance de f, disons f^p \\ \\ ,donc tous les coefficients seront multiplies par le meme f^p et deviendront \\ \\ \\ a_jf^{p-n_j}. Pour etre certain que tous ces nombres soient dans A il faut \\ \\ que toutes les puissances de $f$ soient positives, ce qui arrive si p\geq \\ \\ n_j pour tout j.Ceci revient a dire que p est plus grand que la plus \\ \\ grande des n_j,c'est-a-dire la plus grande puissance de f apparaissant \\ \\ dans Q \\ \\ Donc en posant p=\max_{0 \leq j \leq d} n_j, ca doit marcher,f^pQ est a \\ \\ coefficients dans A, je te laisse le demontrer (il faut juste rederouler le \\ \\ paragraphe precedent à l'envers). \\

Quelqu'un peut-il m'expliquer??

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 27-09-07 à 17:43

Quelqu'un peut-il m'expliquer tout ça???

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 29-09-07 à 12:41

euhh Aprés avoir relu ma démo pour montrer que phi était un morphisme d'anneau,je m'aperçois que pour le produit ce que j'ai écrit est faux,voyer plutot:

phi((PQ)(X))=phi(P(X)Q(X))=P(1/f)Q(1/f)=(PQ)(1/f)=phi(P(X)).phi(Q(X))
mais le passage de la 2emeà la 3 eme égalité est faux...enfin faudrait le montrer autrement...
Si quelqu'un voit ce que je veux dire et pourrait m'aider,ce serait sympa!

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 29-09-07 à 13:40

Voilà,en fait on a ça:

\rm P.Q=\Bigsum_{k,j\in N} a_k.b_j X^{k+j}=\Bigsum_{s=0}^{\infty}.\Bigsum_{k=0}^s a_k.b_{s-k}.X^s
d'ou
\rm \phi(PQ(X))=\phi(\Bigsum_{k,j\in N} a_k.b_j X^{k+j})=\Bigsum_{k,j\in N} a_k.b_j (\frac{1}{f})^{k+j}
et aprés je sais pas trop comment m'en sortir.

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 29-09-07 à 14:05

mais j'y suis là non?

\rm PQ(\frac{1}{f})=\Bigsum_{k,j\in N} a_kb_j.(\frac{1}{f})^{j+k} \\ Et P(\frac{1}{f}).Q(\frac{1}{f})=(\Bigsum_{k\in N} a_k(\frac{1}{f})^k).(\Bigsum_{j\in N} b_j(\frac{1}{f})^j)=(par produit de Cauchy)\Bigsum_{k,j\in N} a_k.b_j (\frac{1}{f})^{j+k})
Donc c'est bon là?

Posté par
H_aldnoerre : Algebre linéaire:partie multiplicative 29-09-07 à 19:41

Yep, salut robby!

Perso j'ai pas compris ce que tu as fait, et je n'y arrive pas non plus !!

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 29-09-07 à 20:45

si j'ai réussi,va voir sur wikipedia en tapant produit de Cauchy...
j'ai calculé les deux memebres séparemment et ils étaient égaux...

Posté par
H_aldnoerre : Algebre linéaire:partie multiplicative 29-09-07 à 20:48

ok ok, je vais voir ça!
mais la y'a the lost room lol !!

Posté par
H_aldnoerre : Algebre linéaire:partie multiplicative 29-09-07 à 23:25

re!

robby, quand tu fais \phi(P+Q), tu somme P et Q sur les mêmes indices ?

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 29-09-07 à 23:29

non quand je fais ça,je fais
phi(P+Q)=(P+Q)(1/f)=P(1/f)+Q(1/f)=phi(P)+phi(Q)

Posté par
H_aldnoerre : Algebre linéaire:partie multiplicative 29-09-07 à 23:39

Ok!

Par contre pour le produit de cauchy, il y a pas de convergence ?

Citation :
\rm Et%20P(\frac{1}{f}).Q(\frac{1}{f})=(\Bigsum_{k\in%20N}%20a_k(\frac{1}{f})^k).(\Bigsum_{j\in%20N}%20b_j(\frac{1}{f})^j)=(par%20produit%20de%20Cauchy)\Bigsum_{k,j\in%20N}%20a_k.b_j%20(\frac{1}{f})^{j+k})


J'ai pas compris ce passage !

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 29-09-07 à 23:41

de convergence?? mais pourquoi parler de convergence là??
moi je me suis servi de ce qui y'avait sur wikipedia,sinon j'arrivait pas

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 29-09-07 à 23:42

je pense qu'on pourrait s'en sortir avec des changements de variables....

Posté par
H_aldnoerre : Algebre linéaire:partie multiplicative 29-09-07 à 23:45

J'ai rien capté !

On prend P(X)=\Bigsum_{i=0}^na_iX^i et Q(X)=\Bigsum_{j=0}^nb_jX^j :
PQ(X)=\Bigsum_{i=0}^na_iX^i.\Bigsum_{j=0}^nb_jX^j

Jusque la c'est ok, le reste je comprend rien mais alors rien !!!

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 29-09-07 à 23:51

le probleme déjç,c'est qui te dit que j va aussi jusque n ??
il pourrait aller jusqu'à m différent de n

aprés bah tu va là:

Posté par
H_aldnoerre : Algebre linéaire:partie multiplicative 30-09-07 à 00:00

bon laisse tombé ça me soule !
tu fais comment pour le f^nP ?
tu prend n=1 ??

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 30-09-07 à 00:02

alors ça je t'avoue j'ai rien capté,on a tenté de m'expliquer mais j'ai rien compris...pourtant j'y ai passé du temps mais j'arrive pas,faudrait que Kaiser passe par là

Posté par
H_aldnoerre : Algebre linéaire:partie multiplicative 30-09-07 à 00:03

lool!

help kaiser!

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 30-09-07 à 00:05

attend je vais lui demander s'il a le temps,parce qu'y commence à se faire tard et puis y doit avoir du taf aussi(sans doute plus que nous )

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre linéaire:partie multiplicative 30-09-07 à 00:16

Bonsoir à tous

Personnellement, je pense qu'on devrait plutôt faire autrement.
D'abord, êtes-vous d'accord que l'expression \Large{\phi(PQ)} est bilinéaire en (P,Q) ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Algebre linéaire:partie multiplicative 30-09-07 à 00:23

mais moi je vois ce que tu entend par bilinéaire en (P,Q) !
linéaire par rapport à la variable P et par rapport à la variable Q ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre linéaire:partie multiplicative 30-09-07 à 00:24

C'est bien ce que j'entends par là.
Dans ce cas, es-tu d'accord ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 30-09-07 à 00:25

euhh oué je crois bien H_aldnoer...mais j'étais en train de me demander si c'était pas ce qu'on voulait montrer ensuite justement.

Posté par
kaiser Moderateurre : Algebre linéaire:partie multiplicative 30-09-07 à 00:27

Citation :
mais j'étais en train de me demander si c'était pas ce qu'on voulait montrer ensuite justement.


non, car ça ne fait pas intervenir le produit.
En fait, il faut montrer au préalable que si A et B sont deux polynômes et \Large{\lambda} un élément de A, alors \Large{\phi(\lambda A+B)=\lambda \phi(A)+\phi(B)}.
ça, ce n'est pas dur à montrer.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Algebre linéaire:partie multiplicative 30-09-07 à 00:28

tu vois l'application \phi comme un application de deux variables ?
\phi(PQ)=\phi((P,Q)) ?

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 30-09-07 à 00:29

ça ok!!

Posté par
H_aldnoerre : Algebre linéaire:partie multiplicative 30-09-07 à 00:29

ok pour 00:27 !

Posté par
robby3re : Algebre linéaire:partie multiplicative 30-09-07 à 00:29

oui c'est moi aussi ce que je trouvais bizarre,mais j'attendais patiemment ou Kaiser voulait en venir

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