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Soit f: K->A un morphisme d'anneau, soit x tel que f(x)=0 alors si x différent de 0, il existe y tel que xy=1 donc f(xy)=f(1)=1=0, ce qui est exclu dans un anneau
>OK.
Je donnerais la suite et la fin de l'exercice plus tard(2questions)...le temps que j'aille manger un bout
Comme promis,la fin de l'exo
Soient A et B deux anneaux:
a)Déterminer nAxBen fonction de nAet nB
b)En déduire que les anneaux Z/nZ x Z/mZ et Z/nmZ sont isomorphes si m et n sont premiers entre aux.
J'imagine bien qu'il faut trouver nAxB=nA.nB
mais comment??
Ben, non ca se comprend bien si tu veux que (n,n)=0 cela siginifie que n est un multiple nA et un mulitple de nB, La carractéristique est le plus petit entier tel que (n,n)=0, c'est donc le plus petit commun multiple de nA et nB, aussi appelé ppcm
on a nAxBest le plus petit entier >=1 tel que
nAxB.1AxB=0AxB.
AxB est un anneau de caractéristique nAxB,donc pour tout (x,y)dans AxB, nAxB.(x,y)=0AxB=(0A,0B)
jusque là c'est correct?
Ok, alors si je poursuis ce que je voulais faire,j'aurais ceci:
nAxB.x=0A=nA.1A
De meme
nAxB.y=0B=nB.1B
Donc nAxB divise à la fois nAet nB...comme il doit etre le plus petit entier...c'est le ppcm des deux.
C'est ça?
ça me semble pas si faux que ça...
Pour la derniere question,je vois pas,on sait juste que la caratcéristique de Z/nZ x Z/mZ c'est nm.
Aprés pour en déduire qu'il y a isomorphisme??
Attention c'est nA et nB qui divisent n(A*B) et je comprends pas trop ton raisonnement...
Pour le reste considère le morphisme de Z dans Z/nZ*Z/mZ on montre qu'il est surjectif grace à Bezout et il se factorise a travers son noyau qui est Z/nmZ, ce qui rpouve le résultat
Attention c'est nA et nB qui divisent n(A*B) et je comprends pas trop ton raisonnement...
>>?? bah je sais pas alors!
la question b) je sais la faire,mais il faut "en déduire" donc forcément faut utiliser la caratcéristique de Z/nZ x Z/mZ...??
Je reviendrais demain,là c'est dodo!
Bonne nuit!
Re,
En fait dans mon raisonnement j'esayais de retrouver la réponse,àsavoir le ppcm...donc je suis partie de la définition de la caractéristique de AxB et j'ai esssayé ensuite ce qui me semblais etre correct...Meme si ça ne l'est pas visiblement?
Pour l'autre question,je sais la faire avec un morphisme...mais ici vu qu'il faut en déduire,je me dis qu'il faut utiliser la caractéristique...
Salut!
Relis le sixième post sur cette page je te donne casiment la démo, il suffit de la rédiger bien...
Pour le en déduire, la carractéristique le donne le noyau de ton morphisme Z->Z/nZ*Z/mZ, si tu prouves que cette appliaction est surjective (comme tu sais que la carractéristique de Z/nZ*Z/mZ est nm) tu auras prouvé que Z/nmZ est isomorphe a Z/nZ*Z/mZ (propriété universelle du quotient)
Il n'y a donc qu'a prouver la surjectivite (bezout...)
ah oui!! ok pour le en déduire!!
si tu veux que (n,n)=0 cela siginifie que n est un multiple nA et un mulitple de nB, La carractéristique est le plus petit entier tel que (n,n)=0, c'est donc le plus petit commun multiple de nA et nB, aussi appelé ppcm
>>n c'est la caractéristique de AxB ? c'est bien ça?
le 0,c'est le 0 de AxB aussi
mais sinon j'ai l'impression que c'est presque ce que j'ai écrit...!
Je comprends pas trop ce que t'as écrit, je vois pas ce que viennent faire le x et le y, et ton égalité me parait foireuse, les 0 ne sont pas les memes dans A*B et dans A, l'un est un couple (0A, 0B) et l'autre est juste 0A...idem pour B
Dans ma preuve non, n n'est pas forcément la carractéristique de A*B, c'est un entier quelconque, la carractéristique c'est le plus petit de ces n...
Je te découpe le problème si tu veux
1° Prouve que si n est un entier alors (n,n)=0 ssi nA divise n et nB divise n.
2° Deduis que la carractéristique est le ppcm de nA, nB
x était un élément de a,y de B.Ca me semblait pourtant juste
les 0 ne sont pas les memes dans A*B et dans A, l'un est un couple (0A, 0B) et l'autre est juste 0A...idem pour B
>>C'est bien ce que pensais!!Et c'est bien ce que j'écris
Prouve que si n est un entier alors (n,n)=0 ssi nA divise n et nB divise n.
>>je comprend pas ceci!!pourquoi (n,n)=0 je comprend pas ce truc là,ça veut dire quoi (n,n)=0
c'est le couple d'entier (n,n) qui vaut 0 cad n=0??
Ben non c'est l'image de n de Z par le morphisme Z->A*B. J'écris comme ça (enfin tout le monde écrit comme ça ) car c'est beaucoup plus court et ca ne porte pas (en général à confusion) puisuqe l'image de n c'est toujours n.1A, on a pas de scrupules à noter ça n, ici 1A*B=(1,1).
Si tu préfères avec des notations peut etre plus lourdes mqis qui t'éclaireront sans doute mon 1° devient
Prouver que n.1A*B=n(1A,1B)=0 ssi nA et nB divisent n.
C'est mieux?
un ti peu oui.
On a ça:
est-ce que je suis sur la bonne voie ...parce que ça reprend un peu le raisonnement foireux dont tu parlais.
C'est juste mais je comprends pas pourquoi tu t'embêtes avec ces x et y, alors qu'il te suffit de faire x=1A, et y=1B... ca suffit amplement pour démontrer ce que l'on veut.
Est tu d'accord que si n(1A,1B)=0 (dans A*B) alors on a n.1A=0 et n.1b=0.
Cela siginifie que n est dans ker (Z->A) donc n est dans nA.Z, c'est à dire que nA divise n. De même pour nB divise n.
Est tu d'accord que si n(1A,1B)=0 (dans A*B) alors on a n.1A=0 et n.1b=0.
>>OUI!!
Cela siginifie que n est dans ker (Z->A) donc n est dans nA.Z, c'est à dire que nA divise n. De même pour nB divise n.
>>effectivement,j'avais zappé cete partie de la définition de caractéristique...les noyaux.
come n est le plsu petit c'est le ppcm...
Oui, en tout cas o sait que le ppcm de nA et nB divise n, mais il est facile de voir que si l'on note m le ppcm de nA et nB alors m(1A,1B)=0 donc nA*B divise aussi m et par suite nA*B=m
OK!!D'accord,c'est pigé.
Merci beaucoup de ton aide et surtout de ta patience mise à rude épreuve avec mes questions
Je vais aller manger l'esprit plus libre!
Merci et à trés bientot!
Salut,Avec H_aldnoer,on se demandait comment on écrivait les éléments de Fp/X² par exemple???
Merci de vos réponses.
On se demande pas mal de chose en faite !
Par exemple, est la surjection canonique (ou A est un anneau, I un idéal de A)
C'est la définition ? C'est tout le temps vrai ?
Y'a-t-il une différence avec le théorem de factorisation ou l'on a A/Ker(f) ?
Si l'on prend un élement de A/I, comment s'écrit-il concrètement ?
Pour robby3, Heu tu ne veux pas plutot dire les éléments de Fp[X]/X^2, ce sont les éléments de la forme aX+b.(division euclidienne)
Pour H_aldoner
Je comprends pas trop ton histoire...tu veux la déinition de quoi exactement.
Si tu te donnes un sous A-module N d'un module M (ou un idéal d'une anneau, ce qui revient exactement au même) alors tu définit le module quotient M/N, comme l'ensemble des {x+N} pour x dans M. Tu peux éfinir des opérations sur M/N de telles sorte que M/N soit munit canoniquement d'une structure de A-module. Ce sont les seules opérations que l'on peut mettre sur M/N tel que f:M->M/N, f(x)=x+N soit un morphisme de modules. Ce morphisme est appelé surjection canonique il est de noyau N. Est ce que tu vois alros le lien avec la factorisation des morphismes?
Il ne faut (quasiment) jamais voir n module quotient sous cette forme mais par sa propriété universelle, qui est exactement la factorisation des morphsimes, en pratique un élément de M/N est un élément de M définit à un élément de N près, exactement comme dans Z/nZ, un élément est défnit a un mulitple de n pres...
Merci Rodrigo!!
Encore une petite question
comment montrer que
g:Z->Z/nZ x Z/mZ est un morphisme surjectif??
morphisme:
g(x+y)=((x+y)',(x+y)")=(x'+y',x"+y")=g(x)+g(y)
g(x.y)=((xy)',(xy)")=(x'y',x"y")=g(x).g(y)
g(1)=(1',1")
ou ' est la classe de x dans Z/nZ et " celle de dans Z/mZ.
pour la surjectivité,tu m'as dis d'utiliser bezout mas je vois pas du tout comment??
Salut robby,
bien pour m et n premiers entre eux et a et b donnés le problème revient à trouver x dans Z tel que x=a(n) et x=b(m).
Par Bezout, il existe u et v tels que um+nv=1.
Cela doit te permettre de trouver un x judicieux en utilisant cette identité et a et b bien surs.
Salut Cauchy,
je comprend pas trop...
F surjective <=> trouver x dans Z tel que x=a.n,x=b.m??
ensuite on fait bezout,donc il existe u,v/ um+vn=1...
je trouve x=(ab)/(au+bv)
C'est bien ça?
Salut,
montrer que ton application est surjective cela veut dire que pour toute classe a modulo n et b modulo m tu peux trouver x dans Z tel que x=a(mod n) et x=b(mod m).
L'idée est de construire x en partant de l'identité de Bezout, je comprend pas ce que tu as fait x doit être entier.
ahh d'accord,j'avais pas saisi ce qu'était a(n)...
Donc en fait x=kn+a,k dans Z
et x=k'm+b,k' dans Z.
on a um+vn=1,aprés faut construire x à partir de là??
lemme chinois??
C'était prévu l'année derniere mais notre prof a jugé bon de le zapper...
ça passe par le ppcm de n et m?
Non mais en fait c'est ce qu'on veut montrer le lemme chinois.
Sert toi de a et b et de l'identité um+vn=1 pour construire x tel que x=a(n) et x=b(m).
Indication tu peux choisir une combinaison linéaire de a et b.
bah moi non plus mais je vois pas ce que je vais faire avec ça!!
je vois pas trop,a et b on peut dire que ça...et le rapport avec l'égalité de bezout bah je vois pas du tout!
je multiplies par a:
aum+avn=a or a=x-kn
donc aum+avn=x-kn donc x=(au)m+(av+k)n
si on mulitplies par b,on a:
x=(bu+k')m+(bv)n
Doucement x on l'a pas encore choisi.
Contemples les deux égalités aum+avn=a et bum+bvn=b.
On cherche x tel que x=a(n) et x=b(m).
Un bon candidat pour vérifier x=a(n) est aum, on va le modifier un peu pour qu'il vérifie aussi x=b(m).
La il est divisible par m donc ca ne marche pas, pour le rendre congru à b modulo m sans changer sa valeur modulo n, il faut lui ajouter un multiple de n qui est congru à b modulo m(et la on se sert de la deuxième égalité...).
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