Et si on écrit :
f_A(n)=f_A(1+...+1)=f_A(1)+...+f_A(1)=1+...+1=n

c'est correct?
ce qui nous donne f_A(k)n=0

Tu as du deja faire cette demo pour les corps, ici on affaiblit les hypotheses mais c'est la meme preuve. Ton morphisme te fournit un plongement de Z dans A.
Si n=0 est un composé et generateur du noyau de ton morphisme fA, alors n=pq=0 et par intégrite p=0 ou q=0, ce qui contredit le fait n soit générateur de kerfA
Est ce clair?

Oui fA(k)n=0, puisque n=0 dans A (bien sur c'est l'image de n qui est nulle...)
Dans mon post j'ai fait un abus de langage on a aps ici un plongement puisque precisement fA n'est pas injectif...

J'ai pas compris votre message, et, on pas fait cela en cours (la seule démo qui puisse s'en rapprocher c'est celle de A anneau fini et intègre, alors A corps)

Je ne comprend pas pourquoi n=0, on me demande justement de le prouver.

Je suis effectivement allé un peut vite j'ecrit avec ton morphisme fA.
Suppose que n=pq ou p et q sont deux nombres premiers
On a fA(n)=0, donc fA(pq)=0, soit fA(p)fA(q)=0 et par integrite fA(p)=0 ou fA(q)=0, mais ni p ni q ne sont dans nZ, ceci est donc impossible puisque ker fA=nZ

Bof je suis pas trop convaincu !

Qu'est ce qui te vas pas? La demo est correcte

C'est quoi la conclusion alors ?

Ben que n est necessairement premier (bien sur j'avais supposé n différent de 0)

Donc au début tu suppose n pas premier ce qui signifie, qu'il existe deux nombres premier qui divise n ?

J'ai pas fait l'intégralite de la preuve, je t'ai donné l'idee, j'ai juste traité le cas ou n s'ecrit comme pq ou p et q sont deux nombres premiers (donc oui n non premier), il est facile de déduire la cas général de celui la.

Il faut écrire la décomposition de n en produit de facteur premier alors ?

Par exemple oui... mais tu peux écrire plus simplement si n non premier il existe p premier tel que n=pq avec p<n et q<n et réécrire mot pour mot ma preuve (dans la quelle le fait que q soit premier ne sert a rien)

Maintenant je suis plus convaincu !
Le fait que p<n et q<n implique que p,q ne peuvent pas appartenir à n ?

Oui...

Merci, ciao^^

Bonjour tout deux, est-ce que ceci convient comme réponse?

>>Soit A un anneau unitaire integre de caractéristique non nul n.
Si n n'est pas premier,il existe (a,b) dans N*xN* tel que n=a.b ou 1<a,b<n

Comme le 0 de A=n(1A)=(a1(A))(b1(A)) et que A est integre
=>a1(A)=0 ou b1(A)=0,ce qui contredit la définition de n.

j'en suis pas certain à 100%.
Merci d'avance de votre réponse.

Oui ça marche bien...

ok! merci Rodrigo.
Par contre il y a une question qui suit cet exercice:

Donner un exemple d'anneau A non integre avec n premier.

Eh bien j'ai pas trouver,en fait je pensais trouver parmis les Z/nZ avec n premier mais dans ce cas là on a forcément  Z/nZ integre...

Avez vous une idée d'un tel anneau?
Merci encore de votre aide.

C'est une bonne piste mais comme tu l'a remarqué elle n'aboutit pas si on se restreint au Fp=Z/pZ... pourqoi pas un anneau de polynome sur Fp que tu quotiente pas quelque chose?
Disons Fp[X]/X^2 de carractéristique p (bizarre de parler de carractéristique sur des anneau non intègres) et clairement non intègre X*X=0

euhh en effet,je vois que ça marche mais F_p[X],les élément sde ce truc là sont comment?

et pourquoi la caracteristique c'est p?

Désolé si mes questions semblent idiotes mais je veux etre certain de comprendre.

Fp[X] c'est les polynomes à ceofficients dans Fp. Comme Fp est intègre on sait que Fp[X] est intègre c'est pourquoi il faut quotienter.
La carractéristique est p puisque p=0 dans Fp.

Dans la suite de l'exercice on me demande de montrer que pour f:A->B,
si f est injective (f est un MA) que na=nb.

J'ai:

voilà et aprés je suis coincé.
Alors suis-je sur la bonne voie? si oui comment m'en sortir,sinon que faire?

Merci d'avance de votre aide.

Salut Jeanseb!!
Alors tu fais quoi maintenant que tu as l'agreg?

J'ai commencé ...la fac de théologie, en L1/L2. J'apprends le grec et l'hébreu. Je continue comme prof de maths en collège... et je reviens de temps en temps sur l'île pour revoir les copains.L'an prochain, j'espère être muté en lycée.

Et toi?

C'est quoi a et b dans ton ennoncé?

ah oué,t'as un emploi du temps chargé!!

Moi bah figure toi que je me suis perdu
Je suis en licence3 de maths fondamentales.
Et vu le début de l'année,vu que je comprend rien en Calcul diff et en intégration,j'espere trouver une issue parce que je me voi mal avoir ma licence!

pardon Rodrigo,
c'est des A et B,ce sont des anneaux

Et n c'est un entier quelconque?

nono le n c'est la caractéristique...
na c'est la caractéristique de A,de meme pour B

Ah ok! Je comprenais pas trop sinon.

C'est pas trop dur.
Si carractéristique de A=nA, carractéristique de B=nB, et que f est un morphisme injectif de A vers B, il est facile de prouver que nA=nB.
Je peux te donner une preuve tres algébrique à base de diagrammes mais je sais pas trop taper ça, alors on va faire plus simples
Comme nB.1=0, on a f(nB.1A)=0 soit nB.1A=0 et par suite nA divise nA mais comme ce sont deux nombres premiers on ne peut avoir que nB=nA

ce qui me chiffone c'est que je trouve une preuve dans le cas ou f n'est pas injectif à condition que A et B soit de carractéritique non nulle. Ce qui me semble juste puisque je ne crois pas qu'il existe des morphisme d'anneaux entre des anneaux de caractéristiques non nulles et différentes

Ma preuve dans ce cas consiste a dire nA.1A=0 donc f(nA.1A)=nA.1B=0 et donc nB divise nA et comme ils sont premiers on conclut de même... A méditer mais je pense que c'est juste!

justement,avant cette question on m'a demandé de prouver que nb divisait na (ce que j'ai réussi à faire)...donc là je pensais faire avec la définition de na et nb...

(je m'absente,désolé,je reviendrais ce soir dés 20h je pense)
A tout à l'heure j'espere!

Ben c'est facile de prouver que nA divise nB car si tu te donnes le morphisme (unique!!) d'anneau Z->A son noyau c'est (nA), et donc si un entier q vérifie q.1A=0 ca signifie que q est dans (nA) et donc nA divise q

bah oui:
pour nb divise na,j'ai montré que Ker(phiA) C Ker(phiB).
La pas de probleme.

Mais pour montrer que na=nb si f injective c'est plus compliqué non?
Au début je pensais montrer que Ker(phiB) C Ker(phiA) mais j'ai pas réussi donc voilà...

Dans Z ces idéaux sont premiers et donc maximaux (Z est principal!) donc égaux...

sinon comme exemple d'anneau non intégre de caractéristique p tu peu prendre les matrices  2x2  à coefficients dans  Fp .

encore un autre (à priori)  le produit des anneaux  Fp x  Fp n'est pas intégre car (0,1)x(1,0)=(0,0)

effectivement lolo217,ça marche aussi!

Rodrigo>j'ai pas compris?!

dsl c'était pas ce smiley que je voulais mettre

j'ai encore beaucoup de question mais l'une d'entre elle me chagrine:

Si A est un corps,pourquoi f est soit nulle,soit injective?

Merci encore de votre aide!

Ben d'apres ce qu'on a prouvé précedemment le noyau du morphisme Z-> A est un idéal premier de Z.

Donc ker phiA et ker phi B sont des idéaux premiers de Z qui est principal, ce sont donc des idéaux maximaux et si l'on a ker phi A inclus dans ker phiB on a donc égalité. C'est vraiment pédant juste pour dire en fait que si un nombre q>1 divise un nombre premier p alors p=q, mais c'est équivalent à la démo que je t'ai donné plus haut pour prouver que nA=nB

Je sais pas si c'est tres clair...

Pour ta question un morphisme de corps est toujours injectif!!

mais dans ma question,c'est seulement a qui est un corps,B reste un anneau...

Ben un idéal maximal c'est un idéal qui soit maximal pour l'inclusion (c'est aussi un idéal I tel que A/I soit un corps) donc si I et J sont deux idéaux maximaux tel que I inclus dans J alors I=J (sinon I ne serait pas maximal...)

Pour l'autre question il suffit que l'anneau de départ soit un corps. Je te donnela demo c'est tres simple.
Soit f: K->A un morphisme d'anneau, soit x tel que f(x)=0 alors si x différent de 0, il existe y tel que xy=1 donc f(xy)=f(1)=1=0, ce qui est exclu dans un anneau