Annuler
connectez vous
arithmétique en post-bac
- Arithmétique dans Z - supérieur
- Exercice : le petit théorème de Fermat
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Ensemble et application Partie II
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre ArithmétiqueTopics traitant de arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
anneau quotient Z/nZ, classe d'un nombre, relation d'équivalence
Posté par cocozumbo
Bonjour,
je ne trouve pas la définition de la classe d'un nombre, et je ne comprend pas, par conséquent, la définition d'anneau quotient, et ensuite, d'anneau quotient de la forme A/R, où R est une relation d'équivalence dont le sens m'échappe également.
Pourriez-vous m'apporter des explications? 
Merci d'avance
Bonjour,
tu sais ce qu'est une relation d'équivalence.
L'ensemble quotient est simplement l'ensemble des classes d'équivalences.
Parfois on se débrouille pour que la relation d'équivalence vérifie quelques propriétés algébriques supplémentaires, ce qui fera de l'ensemble quotient un anneau, un groupe, un corps etc.
Ici la relation d'équivalence sur Z est
a en relation avec b si et seulement si a-b est dans pZ (i.e. ssi a-b est un multiple entier de p).
Plutot que de noter Z/~ on note Z/pZ pour l'ensemble des classes d'équivalences.
Cet ensemble a de belles propriétés, c'est en fait un anneau. Les opérations dans Z/pZ sont "les mêmes" que dans Z, à la différence près que l'on identifie tous les éléments d'une même classe.
Bonjour
Dans 
, pour n fixé, on note n l'ensemble des multiples de n et on définit la relation d'équivalence (congruence modulo n)
a
b (mod n)
a-b
n.
La classe d'équivalence de a est
Il y a donc exactement n classes d'équivalence: leur ensemble est noté
/n. En posant et
on y définit une structure d'anneau (c'est l'anneau quotient).
Plus généralement, si A est un anneau et I un idéal bilatère, on définit la relation d'équivalence
et sur l'ensemble quotient A/I on définit une structure d'anneau comme ci-dessus.