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Anneau Z/mZ et congruence modulo n

Posté par
Supradyn 13-10-16 à 17:35

Bonjour,

Je viens vous voir aujourd'hui car j'ai énormément de peine à faire des liens entre différents concepts liés à la congruence modulo m et à l'anneau \color{red} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}.

Nous avons défini la relation d'équivalence suivante : x \sim r \Leftrightarrow x \equiv r \text{ mod } m (avec m \in \mathbb{N}, m \ge 1
Et nous avons défini l'ensemble \mathbb{Z}/m \mathbb{Z} comme étant l'ensemble des classes d'équivalence suivantes:

[r]=\{x \in \mathbb{Z} | x \sim r\} = \{r + m \cdot a | a \in \mathbb{Z} \} = r + m \mathbb{Z}

i.e. \mathbb{Z}/m \mathbb{Z} = \{[0], [1], ... , [m-1]\}.

Jusque-là tout va plutôt bien. Le problème vient dès que je m'intéresse davantage à [r]. En effet:

[r]=\{x \in \mathbb{Z} | x \sim r\}
= \{x \in \mathbb{Z} | x \equiv r \text{ mod } m \}
= \{\text{ ensemble des éléments } x \text{ tels que } x-r \text{ est divisible par } m \}
= r+ m\mathbb{Z}
= \{\text{ ensemble des éléments } x \text{ qui présentent le même reste } R \text{ que } r \text{ lorsque } x \text{ et } r \text{ sont divisés par } m \}
(il me semble qu'on peut retrouver cette dernière égalité assez facilement en utilisant les égalités qui la précèdent)

Autrement dit, on a donc, pour des nombres quelconques a, b, c \in \mathbb{Z}:
x = ma+R
r = mb+R

En isolant R dans la deuxième équation et en le substituant dans la première équation, on a:
R = r-mb \Rightarrow x=ma+(r-mb) = m(a-b)+r = mc + r = m\mathbb{Z} + r

Et ce qui me perturbe beaucoup, dans tout ça, c'est le fait qu'on ait en fait
\color{red} x = m\mathbb{Z} +r = m\mathbb{Z}+R, car cela ne voudrait-il pas dire que \color{red} r=R? Il me semble que ce n'est pas du tout le cas (puisque, notamment, \color{red} r=mb+R...!). Cela me perturbe beaucoup car les assistants que nous avons pour nos cours ont tendance à parler de \color{red} r comme du reste d'une division, mais je n'arrive vraiment pas à comprendre comment \color{red} r pourrait être égal à \color{red} R, vu que ce sont deux choses bien différentes...

Du coup, j'espère que vous pourrez m'aider car je patauge complètement... et les assistants ont parfois un peu de peine à nous aider, car ils se mélangent eux-mêmes les pinceaux...

Posté par
Camélia Correcteurre : Anneau Z/mZ et congruence modulo n 13-10-16 à 17:42

Bonjour

Dire que x et r sont tous les deux dans ton ensemble, c'est dire qu'il existe m tel que x=ma+R et n tel que r=na+R. Aucune raison pour que m et n soient égaux!

Posté par
Supradynre : Anneau Z/mZ et congruence modulo n 13-10-16 à 20:34

Bonsoir et merci de votre réponse,

Je ne dis pas que r est dans mon ensemble... Mais j'utilise la dernière définition que j'ai donnée de mon ensemble, i.e. [r]=\{\text{ ensemble des éléments } x \text{ qui présentent le même reste } R \text{ que } r \text{ lorsque } x \text{ et } r \text{ sont divisés par } m\} pour poser x=ma+R
et r=mb+R,
i.e. je considère la division de r par m (qui donne, par supposition, b +\frac{R}{m}), et j'isole ensuite r en multipliant par m des deux côtés.
Même procédé pour x, mais je suppose cette fois que la division de x par m donne a + \frac{R}{m}.

Pour ce qui est du fait que "m=n", je ne le suppose pas non plus puisque, de nouveau, j'utilise ma dernière définition. Je considère donc le reste R de la division de r par m et le reste R de la division de x par m. Je ne vois pas pourquoi un n devrait intervenir là-dedans...?

Posté par
Supradynre : Anneau Z/mZ et congruence modulo n 13-10-16 à 20:51

En fait, je viens de remarquer aussi que r \in [r], puisqu'on a une relation d'équivalence (i.e. r \sim r (réflexivité)).

En fait je ne comprends pas ce que vous essayez de me dire. Prenons par exemple m=2. Alors \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \{[0], [1]\}, avec:

[0] = \{x \in \mathbb{Z} | x \equiv 0 \text{ mod } 2 \}
et [1] = \{x \in \mathbb{Z} | x \equiv 1 \text{ mod } 2 \}

...donc m est bien le même pour n'importe quelle valeur de x, non?

Posté par
Camélia Correcteurre : Anneau Z/mZ et congruence modulo n 14-10-16 à 16:58

Non!

Si x=3=1+1\times 2 , on a m=1, si x=5=1+2\times 2, on a m=2

Posté par
ThierryPomare : Anneau Z/mZ et congruence modulo n 14-10-16 à 17:34

Bonsoir,

Citation :
[r]=\{x \in \mathbb{Z} | x \sim r\}
= \{x \in \mathbb{Z} | x \equiv r \text{ mod } m \}
= \{\text{ ensemble des éléments } x \text{ tels que } x-r \text{ est divisible par } m \}
= r+ m\mathbb{Z}
= \{\text{ ensemble des éléments } x \text{ qui présentent le même reste } R \text{ que } r \text{ lorsque } x \text{ et } r \text{ sont divisés par } m \}

Soit x\in[r]. La division euclidienne de x par m nous donne un unique couple  (q_x, r_x)\in\Z\times\N tel que  x = m\,q_x+r_x et 0 \leqslant r_x<| m |. Remarquons alors que x\equiv{r}\equiv{r_x}\quad[m]. La particularité de r_x est d'être un représentant de [r] tel que 0 \leqslant r_x<| m |.

Résumons :

r_x, reste de la division euclidienne de x par m, est un représentant de [r] tel que 0 \leqslant r_x<| m |.

Posté par
ThierryPomare : Anneau Z/mZ et congruence modulo n 14-10-16 à 17:40

Enfin,

\Z/2\,Z=\{[0],\,[1]\}=\{[2],\,[3]\}=\cdots=\{[2\,n],\,[2\,n+1]\}=\{0+2\,\Z,\,1+2\,\Z\}

Posté par
ThierryPomare : Anneau Z/mZ et congruence modulo n 14-10-16 à 17:47

Citation :
Et ce qui me perturbe beaucoup, dans tout ça, c'est le fait qu'on ait en fait
x = m\mathbb{Z} +r = m\mathbb{Z}+R


C'est effectivement perturbant puisque c'est faux ! L'on n'a certainement pas x= m\mathbb{Z} +r (pourquoi ?). D'autre part, en reprenant notre exemple, l'on a bien 1\ne7 alors que 1+2\,\Z=7+2\,\Z (le vérifier !).

Posté par
Supradynre : Anneau Z/mZ et congruence modulo n 14-10-16 à 18:47

Bonsoir et merci pour vos réponses,

ThierryPoma @ 14-10-2016 à 17:34


Soit x\in[r]. La division euclidienne de x par m nous donne un unique couple  (q_x, r_x)\in\Z\times\N tel que  x = m\,q_x+r_x et 0 \leqslant r_x<| m |. (...) La particularité de r_x est d'être un représentant de [r] tel que 0 \leqslant r_x<| m |.


C'est justement cette dernière phrase que j'ai de la peine à comprendre, puisque [r] est un ensemble contenant des x... or, ici, x=mq_x + r_x, donc x \ne r_x, et donc pour moi r_x n'est pas un représentant de [r]...

ThierryPoma @ 14-10-2016 à 17:47

Citation :
Et ce qui me perturbe beaucoup, dans tout ça, c'est le fait qu'on ait en fait
x = m\mathbb{Z} +r = m\mathbb{Z}+R


C'est effectivement perturbant puisque c'est faux ! L'on n'a certainement pas x= m\mathbb{Z} +r (pourquoi ?). D'autre part, en reprenant notre exemple, l'on a bien 1\ne7 alors que 1+2\,\Z=7+2\,\Z (le vérifier !).


Je ne comprends pas pourquoi vous dites que c'est faux alors que votre exemple me donne justement l'impression que c'est vrai. R n'est pas nécessairement égal à r mais on peut obtenir 1+2\mathbb{Z} = 7+2\mathbb{Z}, i.e. r+m\mathbb{Z} = R + m\mathbb{Z} = x (par définition de x). Je comprends d'autant moins que j'ai obtenu cette égalité en utilisant la définition "alternative" que j'ai trouvée de [r], i.e. [r] = \{ \text{ ensemble des éléments } x \text{ qui présentent  le même reste } R \text{ que } r \text{ lorsque } x \text{ et } y \text{ sont divisés par } m \}
(cf. mon premier post pour les détails)

...Je suis encore plus perdue maintenant, du coup.

Merci quand même pour vos réponses, je vais encore essayer de réfléchir à tout ça même si tout cela me semble de plus en plus obscur...


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