Bonsoir à toutes et à tous. J'ai besoin de votre aide.
Soit (A,+,•) un anneau commutatif. On note B l'ensemble des idempotents de A: xB x A et x2=x
1. a, Montrer que si x est élément de B,1-x est aussi un élément de B et 1-x x .
b, Montrer que dans B la relation R définie par : (x,y) B2,xRy y=x ou y=1-x est une relation d'équivalence dans B.
c, En déduire que si B a un nombre fini d'élément n, n est un nombre pair.
2, On définit dans B la loi T par : (x,y) B2, xTy= x+y -2xy
a, Montrer que (B,T) est un groupe commutatif.
b, Montrer que (B,T) est un anneau commutatif et unitaire de caractéristique 2.
c, Montrer que si (A,+,•) est integre (B, T,•) est un isomorphe de ( /2, +,• )
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