Bonjour,

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Philoux

Bonjour

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jord

Bonjour,
ca dépend de ce que tu définis comme étant un corps.
En général on ne le suppose pas commutatif, ce qui donne lieu par exemple au théorème de Wedderburn, qui dit que tout corps fini est commutatif.

Pour ce qui est de l'intégrité, ca n'a aucun rapport avec la commutativité, considère par exemple Zpq, qui est l'anneau cyclique à pq éléments. Notamment pq=0 et p et q sont non nuls, alors que ton anneau est commutatif.
De même, considère l'ensemble des quaternions, qui est intègre (c'est notamment un corps) et pourtant non commutatif.

Pour ce qui est d'un corps, il est nécessairement intègre puisque tous les éléments y sont inversibles.
On peut à ce propos énoncer un résultat pas trop dur à démontrer:
Tout anneau intègre et fini est un corps (et entre autre commutatif).

En espérant que ce soit plus clair à présent.
A+

Super bien expliqué otto, merci beaucoup !
Merci aussi à philoux et nightmare.

Je voulais justement en parler de cette propriété : "Tout anneau intègre et fini est un corps"... j'avais lu la propriété suivante : "Tout anneau commutatif, intègre et fini est un corps".
Donc le "commutatif" est inutile si j'ai bien compris. La commutativité sera plutôt une conséquence du fait que c'est un corps fini. C'est bien cela?

Merci !!

C'est un répétition puisque par définition un anneau intègre est commutatif


Jord

euh ...ben c'est pas ce que dit otto, regarde par exemple les quaternions ...

hum bah la définition que je trouve dans tout les bouquins est qu'un anneau intégre est un anneau commutatif non vide n'admettant aucun diviseur de 0

C'est vrai qu'en général on défini l'intégrité sur quelque chose de commutatif, en général on parle de domaine d'intégrité.
Maintenant j'ai peur de dire trop de bétises, ca dépend un peu des définitions que l'on se donne, réfère toi au programme officiel peut être, tu sauras mieux ce que l'on attend de toi.
Techniquement il n'y a aucune raison de limiter l'intégrité à quelque chose de commutatif, mais c'est vrai que très souvent on le fait, ca doit dépendre des auteurs.

Une question :

L'ensemble des congruences modulo-6 Z/6Z est commutatif

par contre il n'est pas intègre car 2 x 3 "=" 0

Est-ce que, ici aussi, la remarque du lien de 15:18 ne s'applique pas ?

Anneau commutatif (ou abélien) : un anneau est commutatif ssi sa seconde loi est aussi commutative

Convention : Le terme « anneau » est souvent employé pour désigner un anneau commutatif unitaire.
Il faut donc prêter garde au contexte dans lequel ce terme est employé.

Philoux

Oui ca dépend vraiment des définitions que l'on se donne, (en général je n'ai jamais vu le terme anneau pour anneau commutatif quand même).
Il arrive souvent que l'on considère qu'il est unitaire (sinon on parle de pseudo anneau) etc.
Tout n'est question que de conventions, il faut savoir avec lesquelles on part, après on arrive à se débrouiller.
Pour savoir quelles conventions utiliser pour le CAPES je ne sais pas trop comment faire, çà doit être inscrit quelque part...

Aïe ......
C'est chiant qu'il y ait plusieurs définitions possibles...

Quelqu'un d'autre a-t-il un avis sur la question ?

Salut,
A propos des anneaux intègres, je pense qu'on appelle anneau intègre un ammeau commutatif, unitaire et sans diviseurs de zéro.
S'il n'était pas commutatif, on dirait simplement "anneau unitaire sans diviseur de zéro".
Etant donné que le corps des quaternions n'est pas commutatif, je ne pense pas que l'on puise dire qu'il soit intègre mais seulement qu'il est sans diviseurs de zéro.

euh, aux dernières nouvelles, un corps est commutatif, sinon on parle d'algèbre à divisions. Oui, la terminologie a changé en 1996 je crois.
Remarque, au dernier séminaire Bourbaki (dimanche dernier), il y avait encore des algébristes qui se battaient à ce sujet...

C'est drôle, je n'ai jamais entendu parler d'algèbre à division.

C'est idiot de se battre pour ca, il suffit de s'accorder sur une seule définition.
Je suis entré dans les études supérieures après 1996 et je n'ai entendu qu'une seule fois que corps => commutativité, et comme le type était iranien et ne parlais que très mal français, je mettais ça sur le dos d'une mauvaise traduction iranien => français ou anglais => français.
A+

Salut
Le problème est qu'en général on identifie le terme field anglais a la notion de corps, cependant pour les anglais field correspond à un corps commutatif.
Ce qui entraine des confusions selon le lieu ou l'on travaille et les bouquins utilisés.
De plus lorsque l'on est au début des études après bac, on ne parle que de corps commutatifs, donc certains livres prernnent comme convention de ne parler que de corps commutatifs sans le préciser.

la convention usuelle pour les corps en Français est qu'il ne sont pas supposés commutatifs, en anglais field désignera par contre toujours un corps commutatif.
Les anneaux en Français ne sont pas commutatifs non plus (voir Bourbaki) par contre si tu t'amuses avec des polynômes pour  A[X] la convention est de ne s'intéresser qu'à des  A commutatifs.
Un anneau intègre n'a aucune raison à priori d'être commutatif.

Bien cordialement,
lolo

ps : je viens de voir que titimarion l'a déjà dit mais mieux vaut deux fois qu'une

Tant qu'on y est , une autre petite question :
qu'appelle t on un sous corps propre? J'arrive pas à trouver de définition...

Merci !

En général on parle de sous qqchose propre, lorsque l'on considère que la double inclusion est impossible.
Un sous corps propre de k serait un sous corps l strictement inclus dans k.
C'est ce que l'on apelle un sous corps stricte éventuellement.
Sauf erreur.
A+

Salut
un sous corps propre de K
est un corps L inclus dans K mais différent de K
Ainsi est un sous corps propre de

ok d'accord, donc dire que Q n'a pas de sous corps autre que lui mm, c'est exactement la mm chose que de dire que Q n'a pas de sous corps propre si j'ai bien compris...

Oui c'est exactement ca.

oki merci beaucoup !!!

j'ai lu un peu plus haut "un anneau intègre n'est pas forcément commutatif". Bah justement si, la commutativité fait partie par définition de l'intégrité. Enfin le fait est qu'il est assez peu courant de travailler sur des anneaux intègres et non commutatifs, d'ailleurs si quelqu'un a un contre-exemple... Quand je dis "par définition", je crois que c'est les conventions des algébristes du CNRS, du coup je pense que c'est une référence ... fiable.

Salut
tout simplement tout corps est un anneau intègre or il existe des corps non commutatif tel que le corps des quaternions, si on ne considère ce corps que comme un anneau intègre il est bien non commutatif

non mais soyons clairs : un corps est commutatif sinon c'est une algèbre à division. Oui, je sais, je l'ai déjà dit.

Bon bin alors les quaternions ne forment pas un corps mais une algèbre à division si tu veux même si ce n'est pas les termes employés en université Française.
Mais il ne reste pas moins que cet ensemble forme bel et bien un anneau qui n'est pas commutatif et qui est pourtant intègre.

par contre merci pour le contre-exemple

J'ai une petite question sûrement idiote : j'ai vu marqué plus haut que Q n'a pas de sous corps propre, mais il me semble que les anneaux de congruence Z/nZ avec n premier sont des corps et sont inclus dans Q.
Q contiendrait donc des sous corps propres?

en fait je pense que les termes adaptés pour les quaternions ça doit être des trucs du style :
- algèbre à divisions non commutative
- ou : anneau sans diviseurs de 0 non commutatif
J'ai tout de même une préférence pour le premier, qui dit plus de choses.

non, les corps Z/pZ ne sont pas inclus dans Q, et Q est bien un corps premier - sans sous-corps propre.

Bien sûr, mais tout cela dépend de la définition que l'on donne d'un corps, je suis d'accord avec toi certaines personnes considère qu'un corps est par définition commutatif et dans le cas contraire le terme d'algèbre à division existe en effet.
cependant il est encore enseigné à l'université la définition de corps sans la ciommutativité il me semble donc logique pour l'instant de continuer a parler du corps des quaternions comme on pourra le voir dans énormément de livre tel que le Perrin cours d'algèbre qui est quand même une référence pour les bases en algèbre

bon d'accord :
démonstration :
si L est un sous-corps de Q il contient 0 et 1, donc par stabilité par somme Z tout entier, par stabilité par passage à l'inverse et produit Q tout entier, i.e L=Q.    

Oui bien sûr titimarion tout dépend de la référence absolue que l'on prend. Et vu que celle-ci change (réjouissons-nous : une prueve que les mathématiques sot encore vivantes dans notre pays) avec le temps, ça devient assez dur à suivre. En l'occurence le Perrin (référence pour des générations d'agrégatifs) date des années 1980 si je ne dis pas de bêtises. Entre temps les bourbakistes ont décidé que les corps étaient commutatifs et du coup plus personne sait où on en est. Je suis d'accord que Wedderburn doit encore s'en retourner dans sa tombe avec son fameux théorème "tout corps fini est commutatif" qui perd son sens. En même temps, autant se mettre à la page le plus tôt, n'est-il pas ?

et puis honnêtement, le Perrin, par rapport au "Algebra" de Lang, c'est pas la même chose. Page 93 de ce merveilleux ouvrage, on peut lire :
"we defined a field to be a commutative ring...".

Je suis d'accord, mais il faut essayer sur un site comme celui ci d'éviter que les étudiants soit perturbé par plusieurs définitions différentes lorsqu'ils ont du mal avec une.

En cer qui concerne Wedderburn, ce n'est pas trop génant une autre version du théorème est que tout algèbre a division, fini est un corps.

C'est sur le Lang est un livre (très boon d'ailleurs mais d'un autre niveau que le Perrin) qui est écris en anglais, et en anglais field=corps commutatif (de notre "ancien" mais encore actuel vocabulaire français)

extrait du rapport du jury d'agrégation (d'une année récente) :

"les candidats savent que tout corps fini est commutatif mais sont souvent incapables de citer un exemple de corps infini non commutatif"

juste pour ajouter une référence de plus !

lolo

Les matrices carrées inversibles d'ordre n , c'est un corps infini non commutatif ?

Es tu sur que c'est un corps?
Esce que c'est au moins un anneau?

Ahhh non c vrai , en fait , la loi + n'est pas une loi interne sur l'ensemble des matrices inversibles.... désolé.
Et vous auriez un exemple de corps infini non commutatif, alors ?

Merci.

Bein déjà un corps non commutatif est forcément infini.
Tu as un bel exemple avec H l'ensemble des quaternions. (qui forme une sous partie de Gl4(R) ou du moins qui lui est isomorphe)

Ensuite, trouver un surcorps de R non commutatif te sera impossible s'il est de degré fini sur R.

Je pense que si l'on défini l'ensemble des séries entières à valeur dans H, on a également un corps non commutatif, mais je n'en suis pas sur, il faudrait le vérifier.(en fait on a un problème de définition au niveau du produit de Cauchy je pense)

Evidemment tu peux aussi prendre le sous ensemble de H, dont les éléments ont des coordonnées rationnelles, c'est encore une réponse valide.

A+

ok merci  !

J'avoue que je ne suis pas sur de ce que je vais  dire mais j'aimerai comprendre quelquechose.
Pour moi le corps de squaternions peut être vu comme un espace vectoriel de dimension 4 puisqu'il admet comme base
Or la dimension d'un surcorps me semble etre le degré de l'espace vectoriel.
ainsi le corps des quaternions semble être un surcorps de non commutatif et de degré fini sur
Enfin peut être dis-je une bêtise.

"Or la dimension d'un surcorps me semble etre le degré de l'espace vectoriel.
ainsi le corps des quaternions semble être un surcorps de  non commutatif et de degré fini sur"

Salut,
oui oui bien sur, mais je me suis mal exprimé, je voulais dire qu'il n'y en avait pas d'autre que R lui même, C et H. Eventuellement O les octonions si on considère que c'est un corps. C'est un théorème de Frobenius, tu dois peut être le trouver dans le Perrin.

A+

Intègre a toujours signifié sans diviseur de 0 ET commutatif.

Si on ne précise rien, un corps est supposé commutatif (et possédant au moins deux éléments) (et un anneau est souvent supposé unitaire sauf si on étudie précisément les anneaux non-unitaires!).

Pour parler de corps 'non commutatifs', corps 'gauches' on emploie le terme algèbres à division. En effet un corps non-commutatif, si on ne veut plus l'appeler ainsi, peut toujours être vu comme une algèbre sur son centre. Il y a une théorie bien développée des corps gauches de degré fini sur leur centre (en particulier ce degré est nécessairement un carré).

Construire des corps gauches est assez simple à partir d'une extension k' d'un corps k et d'un k-automorphisme f sur k'. On considère sur k'((x)) une multiplication légérement différente (au lieu de prendre comme coefficient de x^n  la somme des a_i b_j sur les i,j tels que i+j=n, on considère la somme des a_i f^i(b_j) sur les mêmes indices... et ça marche!