Niveau Reprise d'études

Application bijective avec indicatrice d'Euler

Posté par
Milka3 23-07-24 à 09:32

Bonjour,

voici l'exercice sur lequel je planche.

Citation :
On pose $f(n)=\displaystyle\sum_{d\in\mathcal{D}_{n}}\varphi(d)$ où $\mathcal{D}_{n}$ est l'ensemble des diviseurs de n et $\varphi$ l'indicatrice d'Euler. On note $P:(d_1,d_2)\in\mathcal{D}_{m_1}\times\mathcal{D}_{m_1}}\mapsto d_1d_2$ l'application dont on a montré la bijectivité, au départ de $\mathcal{D}_{m_1}\times\mathcal{D}_{m_1}$ et à valeurs dans $\mathcal{D}_{m_1m_2}$ . Il s'agir de montrer que $f(m_1m_2)=f(m_1)f(m_2)$

Puisque $P$ est une application bijective, alors $\forall (i,j)\in[\![1;a]\!]\times[\![1;b]\!]\,,\exists! k\in[\![1;c]\!]$ tel que $P(x_i,y_j)=z_k$ , en notant $\mathcal{D}_{m_1m_2}=\{z_1,\cdots,z_c\}$ et en notant $\mathcal{D}_{m_1}=\{x_1,\cdots,x_a\}$ et $\mathcal{D}_{m_2}=\{y_1,\cdots,y_b\}$ .

$f(m_1m_2)$

$=\displaystyle\sum_{d\in\mathcal{D}_{m_1m_2}}\varphi(d)$ par définition de f

$=\displaystyle\sum_{k=1}^c\varphi(z_k)$

$=\displaystyle\sum_{(i,j)\in[\![1;a]\!]\times[\![1;b]\!]}\varphi(P(x_i,y_j))$

$=\displaystyle\sum_{(i,j)\in[\![1;a]\!]\times[\![1;b]\!]}\varphi(x_iy_j)$ par définition de $P$

$=\displaystyle\sum_{(i,j)\in[\![1;a]\!]\times[\![1;b]\!]}\varphi(x_i)\varphi(y_j)$ puisque $x_i$ et $y_j$ premier entre eux

$=\displaystyle\sum_{(i,j)\in[\![1;a]\!]}\varphi(x_i)\sum_{(i,j)\in[\![1;b]\!]}\varphi(y_j)$ par sommation rectangulaire

$\displaystyle\sum_{d_1\in\mathcal{D}_1}\varphi(d_1)\sum_{d_2\in\mathcal{D}_2}\varphi(d_2)$

$=f(m_1)f(m_2)$

Qu'en pensez-vous ?

Posté par re : Application bijective avec indicatrice d'Euler 23-07-24 à 11:35

C'est correct mais il faut préciser pourquoi x_i et y_j sont toujours premiers entre eux. C'est parce que ce sont des diviseurs de deux nombres premiers entre eux, donc dont le seul diviseur commun est 1. Si x_i et y_j avaient un facteur commun plus grand que 1, alors m_1 et m_2 auraient pgcd(x_i,y_j) > 1 comme facteur commun aussi, ce qui contredit l'énoncé.

Si je le sujet t'intéresse la somme que tu manipules depuis le début est un exemple de convolution de Dirichlet. C'est $\phi\ast 1 = Id \ast \mu \ast 1 = Id$ . Donc f est non seulement une multiplicative, mais en fait carrément la fonction identité

Posté par re : Application bijective avec indicatrice d'Euler 25-07-24 à 09:20

Merci !
Je ne suis pas le plus convaincu sur la rédaction ! Mais je trouve que passer de la ligne 2 à l'avant dernière ligne de la suite d'égalité de mon premier message est un peu hatif :/

Posté par re : Application bijective avec indicatrice d'Euler 25-07-24 à 13:13

Tu peux aussi rédiger comme suit

$\begin{array}{lclr} \\ f(m_1m_2) &=& \sum_{d \in D_{m_1m_2}} \phi(d)& \\ &=& \sum_{(d_1,d_2)\in D_{m_1}\times D_{m_2}} \phi(P(d_1,d_2))&\textrm{par bijectivité de } P \\ &=& \sum_{(d_1,d_2)\in D_{m_1}\times D_{m_2}} \phi(d_1d_2)&\textrm{par définition de } P \\ &=& \sum_{(d_1,d_2)\in D_{m_1}\times D_{m_2}} \phi(d_1)\phi(d_2)&\textrm{parce que } \textrm{pgcd}(m_1,m_2) = 1 \implies \forall (d_1,d_2)\in D_{m_1}\times D_{m_2}, \textrm{pgcd}(d_1,d_2) = 1 \\ &&&\textrm{et parce que } \phi\textrm{ est multiplicative} \\ &=& \sum_{d_1\in D_{m_1}}\phi(d_1) \times \sum_{d_2\in D_{m_2}}\phi(d_2) \\ &=& f(m_1)f(m_2) \\ \end{array}$