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application de Cantor

Posté par
aya4545
12-10-22 à 16:30

bonjour
prière m orienter pour achever cet exercice
La fonction  de Cantor
 {\displaystyle f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} } definie par {\displaystyle f (x,y):={\frac {(x+y)²+x+3y}{2}}}
1) verifier que f est une application
2)pour tout k \in \N on définie D_k=\{(m;n) \in \N^2 /m+n=k\}
a) mq (D_k)_{k \in \N} est une partition de \N^2
b) justifier que ([|\dfrac{k²+k}{2} ;\dfrac {k²+3k}{2}|])_{k\in \N} forment une partition de N
c) determiner f(Dk) pour tout k de N
d) en deduire que f est injective et surjective
e)determiner f^{-1}(2022)

ce que j ai fait
1) verfier que f application (facile)
2)a) D_k=\{(m;n) \in \N^2 /m+n=k\}


      *)D_k \neq  \emptyset car (0;k) \in D_k     \forall k \in \N
     *)soient k ; k' deux entiers naturels distncts montrons que
            D_k\cap D_{k'} =\emptyset
    supposons  que  D_k\cap D_{k'} \neq \emptyset
     donc il existe (p;q) \in D_k  et (p;q) \in D_{k '}
\implies p+q=k=k' absurde
    
    *) montrons que  \Cup (D_k)_{k \in \N}= \N^2
           l inclusion directe est simple
            soit (m;n) \in \N^2 et posons m+n=k
                    \implies  (m;n) \in   D_k        
                    \implies  (m;n) \in  \Cup ( D_k ) _{k \in \N}

2)b)  justifier que ([|\dfrac{k²+k}{2} ;\dfrac {k²+3k}{2}|])_{k\in \N} forment une partition de N

[|\dfrac{k²+k}{2} ;\dfrac {k²+3k}{2}|] \neq \emptyset car

\dfrac{k²+k}{2}=\dfrac{k(1+k)}{2} \in [|\dfrac{k²+k}{2} ;\dfrac {k²+3k}{2}|]

pour montrer que  que ces intervalles  sont disjoints
pour k>k' j ai demontré que \dfrac{k²+k}{2} >\dfrac {k'²+3k'}{2}
en utilisant m>n \iff  m \geq n+1

c) determiner f(Dk)
 f(D_k)=\{f(m;n) /m+n=k\}=\{\dfrac {k(k+1)}2+n \}
je  bloque dans  d) et merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : application de Cantor 12-10-22 à 16:59

Bonjour,
Je ne vois pas ce que signifient les || dans la question 2)b).

En notant E_k = [\dfrac{k²+k}{2} ;\dfrac {k²+3k}{2}], je pense que pour 2)c) il faut trouver f(Dk) = Ek.

Posté par
Camélia Correcteur
re : application de Cantor 12-10-22 à 17:03

Bonjour

Juste pour te dépanner, car je dois partir.
As-tu fait un dessin des D_k?
Combien d'éléments dans D_k ? Et combien dans [(k^2+k)/2,(k^2+3k)/2] ? Tu sais que que f(D_k)=[(k^2+k)/2,(k^2+3k)/2]. La fonction f induit donc une fonction surjective de D_k sur son image. De là la bijectivité de f se déduit facilement.

4) Indication: trouve le plus grand entier k tel que k(k+1)/2 \leq 2022

Posté par
aya4545
re : application de Cantor 12-10-22 à 17:22

merci Sylvieg
je veux dire par [|a;b|] l ensembles des entiers contenus dans [a;b] f(Dk) =)
 \\  \{f(m;n) /m+n=k\}=\{\dfrac {k(k+1)}2+n / m+n=k\}=\{\dfrac {k(k+1)}2+j /   j \in [0;k] \}=E_k

Posté par
carpediem
re : application de Cantor 12-10-22 à 17:23

salut

aya4545 @ 12-10-2022 à 16:30

La fonction  de Cantor
 {\displaystyle f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} } definie par {\displaystyle f (x,y):={\frac {(x+y)²+x+3y}{2}}}
1) verifier que f est une application  ...  (facile)
peux-tu au moins nous dire quel était le pb et ce qu'il fallait faire (sans détailler) ?

Posté par
aya4545
re : application de Cantor 12-10-22 à 17:24

merci Camélia

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : application de Cantor 12-10-22 à 17:36

D'accord pour la signification des ||
Pour démontrer la partition, il ne suffit pas de démontrer que les pseudo intervalles sont disjoints.

Posté par
aya4545
re : application de Cantor 12-10-22 à 17:42

merci carpediem

soient (a;b) ; (c;d)  \in \N^2 sachant que (a;b)=(c;d) \implies a=c   et   b=d  
\implies f(a;b)=f(c;d)

et  D_f=\N^2

Posté par
aya4545
re : application de Cantor 12-10-22 à 17:46

merci Sylvieg
Soit un ensemble X. Un ensemble P de parties de X est une partition de X si :

aucune de ces parties n'est vide
({\displaystyle \forall Y\in P,Y\neq \emptyset })

leur union est égale à X ;

elles sont deux à deux disjointes  ({\displaystyle \forall Y_{1},Y_{2}\in P,Y_{1}\neq Y_{2}\Rightarrow Y_{1}\cap Y_{2}=\emptyset }) .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : application de Cantor 12-10-22 à 17:47

Soit g :  {\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} } definie par {\displaystyle g (x,y)={\dfrac {x+3y}{2}}}
g n'est pas une application...

Posté par
aya4545
re : application de Cantor 12-10-22 à 17:48

card  D_k=k+1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : application de Cantor 12-10-22 à 17:48

Je réponds pour la partition :
Tu n'as pas démontré "leur union est égale à X".

Posté par
aya4545
re : application de Cantor 12-10-22 à 17:53

j ai deja montré que   {\displaystyle f (x,y):={\frac {(x+y)²+x+3y}{2}}} =\dfrac {k(k+1)}2+y  \in \N   avec x+y =k ( et on sait que le produit de deux entiers consecutifs est pair)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : application de Cantor 12-10-22 à 18:00

Je laisse carpediem répondre pour cette question 1).
Je m'occupe de 2)b).

Posté par
aya4545
re : application de Cantor 12-10-22 à 18:06




on   a   : *) montrons que  \Cup (D_k)_{k \in \N}= \N^2
           l inclusion directe est simple
            soit   (m;n) \in \N^2   et posons m+n=k
                    \implies  (m;n) \in   D_k        
                   \implies  (m;n) \in  \Cup ( D_k ) _{k \in \N}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : application de Cantor 12-10-22 à 18:19

Tu réponds pour 2)a) alors que je parle des intervalles du 2)b).
Essaye de préciser quelle question tu évoques quand tu postes tes messages.

Posté par
aya4545
re : application de Cantor 12-10-22 à 19:02

2)b) E_k=\{\dfrac{k(k+1)}2; \dfrac{k(k+1)}2+1;\dfrac{k(k+1)}2+2;....\dfrac{k(k+1)}2+k \}
contenant k+1 elements

soit m element de N
montrons qu il existe un k entier tel que  m \in E_k
E_0=\{0 \} ;E_1=\{1;2 \}  ;E_2=\{3;4;5 \}
 \\ E_k=\{\dfrac{k(k+1)}2; \dfrac{k(k+1)}2+1;\dfrac{k(k+1)}2+2;....\dfrac{k(k+1)}2+k \}

je vois bien que leur union c est N
mais c est difficile de le prouver  

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : application de Cantor 12-10-22 à 19:20

Pour m entier naturel, essaye d'expliciter la réunion des Ek pour k de 0 à m.

Posté par
carpediem
re : application de Cantor 12-10-22 à 20:22

j'ai donc bien fait de poser la question !!

Sylvieg @ 12-10-2022 à 18:00

Je laisse carpediem répondre pour cette question 1).

merci Sylvieg

je te laisse poursuivre et y reviendrai plus tard d'autant que j'aurai quelques remarques pour la suite

Posté par
aya4545
re : application de Cantor 12-10-22 à 20:57

je m excuse de ce retard
\Cup (E_k)_{k=0}^{k=m}=\{0;1;2;3;.......\dfrac{m(m+1)}2;\dfrac{m(m+1)}2+1....\dfrac{m(m+1)}2+m  \}\implies m \in \Cup (E_k)_{k=0}^{k=m}


pour la surjection  soit  n  élément de N

d apres 1)b)  ([|\dfrac{k²+k}{2} ;\dfrac {k²+3k}{2}|])_{k\in \N} forment une partition de N

donc il existe k entier naturel tel que n \in E_k or
d apres 1)c) f(D_k)=E_k donc il existe (p;q) de D_k tel  que  f(p;q)=n
or les D_k forment une partition de \N^2
donc il existe (p;q) de  \N^2  tel  que f(p;q)=n


mais pour  l injection ca me  pose toujours un probleme

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : application de Cantor 12-10-22 à 21:38

Comment justifies-tu \Cup (E_k)_{k=0}^{k=m}=\{0;1;2;3;.......\dfrac{m(m+1)}2;\dfrac{m(m+1)}2+1....\dfrac{m(m+1)}2+m  \} ?
Je ne vais plus être disponible avant demain soir.
Désolée.
Mais carpediem ou d'autres pourront t'aider d'ici là

Posté par
aya4545
re : application de Cantor 12-10-22 à 22:13

 \Cup (E_k)_{k=0}^{k=m}=E_0 \cup E_1 \cup E_2\cup...\cup E_m=   
 \\ =\{0\} \cup \{1;2\} \cup \{3;4;5\} \cup .....\cup \{ \dfrac{m(m+1)}2;\dfrac{m(m+1)}2+1....\dfrac{m(m+1)}2+m  \}
 \\ \{0;1;2;3;.......\dfrac{m(m+1)}2;\dfrac{m(m+1)}2+1....\dfrac{m(m+1)}2+m  \}

Posté par
carpediem
re : application de Cantor 12-10-22 à 22:24

tout simplement que valent  \dfrac {k^2 + k} 2 - 1 $ et $ \dfrac {k^2 + 3k} 2 + 1  ?

Posté par
aya4545
re : application de Cantor 12-10-22 à 23:31

bonsoir carpediem
si on pose  \dfrac {k^2 + k} 2 =p  
 \dfrac {k^2 + k} 2 - 1=p-1 $ et $ \dfrac {k^2 + 3k} 2 + 1=p+k+1  ?

Posté par
carpediem
re : application de Cantor 12-10-22 à 23:47

non, ne pose rien et calcule moi ces deux nombres !!

indication uno : pourquoi calculer ces deux nombres ?

indications bis : voir à 19h02 et à 20h57 ...

Posté par
aya4545
re : application de Cantor 13-10-22 à 00:19

  \dfrac {k^2 + k} 2 est le plus petit element de E_k donc nécessairement   \dfrac {k^2 + k} 2 -1 est le plus grand élément de E_{k-1}

Posté par
aya4545
re : application de Cantor 13-10-22 à 00:31

   \dfrac {k^2 + 3k} 2 + 1   est le plus petit élément de E_{k+1}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : application de Cantor 13-10-22 à 08:28

Juste en coup de vent avec mon tel :
Oui, et (k2+3k)/2 est quoi pour Ek ?

Posté par
carpediem
re : application de Cantor 13-10-22 à 09:09

aya4545 @ 13-10-2022 à 00:19

  \dfrac {k^2 + k} 2 est le plus petit element de E_k donc nécessairement   \dfrac {k^2 + k} 2 -1 est le plus grand élément de E_{k-1}
certes oui mais peux-tu nous le montrer !!

Posté par
aya4545
re : application de Cantor 13-10-22 à 12:52

bonjour et merci pour votre aide
 E_k=[\dfrac{k²+k}{2} ;\dfrac {k²+3k}{2}]
\implies \forall t \in E_k  t\geq \dfrac{k²+k}{2}  
et puisque  \dfrac{k²+k}{2} \in E_k \implies  \dfrac{k²+k}{2} est le p petit element de    E_k


\dfrac{k²+k}{2}-1 \notin   E_k   et c est le  prédécesseur de
 \dfrac{k²+k}{2} donc il est dans E_{k-1}
et c est le plus grand element de de E_{k-1}

e)determiner f^{-1}(2022)
f(p;q)=2022 \implies \dfrac {(p+q)(p+q+1)}2+q=2022
posons t=p+q
donc  \dfrac {t(t+1)}2 \leq  2022
t²+t-4044 \leq  0
le plus grand entier verifiant l inegalité precedante est t=p+q=63  donc q=6 et p=57

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : application de Cantor 13-10-22 à 16:41

Toujours pour 2)b) :

Citation :
\dfrac{k²+k}{2}-1 \notin   E_k   et c est le prédécesseur de
 \dfrac{k²+k}{2} donc il est dans E_{k-1}
C'est ce donc en gras qui est important.
Pour essayer de clarifier les choses, on peut poser
ak = (k2+k)/2 et bk = (k2+3k)/2.
On a alors Ek = [(k2+k)/2;(k2+3k)/2] = [ak;bk].
Ton "donc" vient d'une relation entre bk-1 et ak, laquelle ?
Et il faut la justifier.
C'est sans doute ce que voulait te faire écrire carpediem hier à 22h24.
Mais "que valent" ou "calculer", c'est très vague quand il y a du k.

Posté par
carpediem
re : application de Cantor 13-10-22 à 19:23

je reviendrai plus tard sur d'autres choses mais pour faire avancer le schmilblick et éclairer les choses :

carpediem @ 12-10-2022 à 23:47

indication uno : pourquoi calculer ces deux nombres ? parce que les ensembles E_k se "suivent"

indications bis : voir à 19h02 et à 20h57 ... on voit effectivement que les E_k se "suivent"


donc on veut montrer simplement que \min E_k - 1 = \max E_{k - 1} $ et $ \max E_k + 1 = \min E_{k + 1}
calculer signifie donc prouver cette conjecture ...

le numérateur des nombres  \dfrac {k^2 + k} 2 - 1 $ et $ \dfrac {k^2 + 3k} 2 + 1 est :

k^2 + k - 2 = (k - 1)^2 + 3k - 3 = (k - 1)^2 + 3 (k - 1)
et
k^2 + 3k + 2 = (k + 1)^2 + (k + 1)



le contexte de l'exercice donne le sens donc du verbe "calculer" : obtenir l'expression ui nous intéresse !!

et la question 2b/ tiens alors en quatre lignes maximum ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : application de Cantor 14-10-22 à 08:31

J'ai tout relu avec plus de temps.
Et vu ceci :

aya4545 @ 13-10-2022 à 00:19

  \dfrac {k^2 + k} 2 est le plus petit element de E_k donc nécessairement   \dfrac {k^2 + k} 2 -1 est le plus grand élément de E_{k-1}

aya4545 @ 13-10-2022 à 00:31

   \dfrac {k^2 + 3k} 2 + 1  est le plus petit élément de E_{k+1}
Traductions :
bk-1 = (k2+k)/2 - 1
ak+1 = (k2+3k)/2 + 1
Il suffisait donc de vérifier ces deux égalités.

Posté par
aya4545
re : application de Cantor 14-10-22 à 12:42

Bonjour
merci Sylvieg  ;carpediem   et  Camélia
je m excuse de ce retard car j ' étais préoccupée par un devoir de SI

je n avais pas bien saisi la question de  carpediem le 12/10 à 22h 24mn alors qu' il voulait prouver que les E_k se suivent  chose très importante  à laquelle je n ai pas fait attention

je bloque toujours dans l injection et bonne journée

Posté par
carpediem
re : application de Cantor 14-10-22 à 13:19

pas de pb : nous comprenons bien que tu as d'autres obligations !!

résumons un peu :

avec les notations et interventions précédentes précédentes :

D_k = \{ (m, n) \in \N^2  /  m + n = k \}

 E_k = [\dfrac {k^2 + k} 2  ;  \dfrac {k^2 + 3k} 2]

1/ montrer proprement que :
      a) les Dk forment une partition de N2
      b) les E k forment une partition de N
2/ montrer proprement que f(D_k) = E_k
3/ montrer proprement que f est une bijection de Dk dans Ek (se référer au msg de Camélia )
4/ conclure : en déduire que f est une bijection de N2 dans N

PS : tout a été fait ou dit pour que tu puisses nous faire proprement un seul msg résumant l'ensemble des résultats précédents et répondant à mes quatre consignes

Posté par
aya4545
re : application de Cantor 14-10-22 à 23:24

bonsoir
voici le resumé de   l exercice precedant

 {\displaystyle f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} } definie par {\displaystyle f (x,y):={\frac {(x+y)²+x+3y}{2}}}=\dfrac {(x+y)(x+y+1)}2+y

1) verifier que f est une application

(x+y)(x+y+1) est le produit de 2entiers consécutifs donc pair  
\implies \dfrac {(x+y)(x+y+1)}2+y  \in \N \forall x  ; y \in \N     et par suite D_f=\N^2
f est donc une application de \N^2 \to \N

2)pour tout k \in \N on définie D_k=\{(m;n) \in \N^2 /m+n=k\}
a) mq (D_k)_{k \in \N} est une partition de \N^2
m  

      *)D_k \neq  \emptyset car (0;k) \in D_k     \forall k 
 \\  \in \N

     *)soient k ; k' deux entiers naturels distincts montrons que
            D_k\cap D_{k'} =\emptyset

    supposons  que  D_k\cap D_{k'} \neq \emptyset


     donc il existe (p;q) \in D_k  et (p;q) \in D_{k '}
 \\ 
 \\ \implies p+q=k=k' absurde

       *) montrons que  \cup (D_k)_{k \in \N}= \N^2
           l inclusion directe est simple
            deuxième inclusion  soit (m;n) \in \N^2 et posons m+n=k

                    \implies  (m;n) \in   D_k        
                    \implies  (m;n) \in  \cup ( D_k ) _{k \in \N}

2)b)  justifier que ([|\dfrac{k²+k}{2} ;\dfrac {k²+3k}{2}|])_{k\in \N} forment une partition de N

*)[|\dfrac{k²+k}{2} ;\dfrac {k²+3k}{2}|] \neq \emptyset car

\dfrac{k²+k}{2}=\dfrac{k(1+k)}{2} \in [|\dfrac{k²+k}{2} ;\dfrac {k²+3k}{2}|]

*)
pour montrer que  que ces intervalles  sont disjoints
pour k>q   montrons que \dfrac{k²+k}{2} >\dfrac {q²+3q}{2}

 k>q  \implies k\geq  q+1
\implies k² \geq q²+2q+1
 \implies k²+k  \geq q²+2q+1 +q+1
\implies  \dfrac{k²+k}{2} >\dfrac {q²+3q}{2}
*) montrons \cup (E_k)_{k \in \N} =\N   avec  E_k = [\dfrac{k²+k}{2} ;\dfrac {k²+3k}{2}]
l inclusion directe est simple
ona  

E_0=\{0 \} ;E_1=\{1;2 \}  ;E_2=\{3;4;5 \}
 \\  \\ E_k=\{\dfrac{k(k+1)}2; \dfrac{k(k+1)}2+1;\dfrac{k(k+1)}2+2;....\dfrac{k(k+1)}2+k \}
remarquons que les  elements des E_k se suivent
c est a dire  que :
\max E_k  +1 =\min E_{(k+1)}
prouvons le

ona  [\dfrac{k²+k}{2} ;\dfrac {k²+3k}{2}] =E_k \implies \max E_k =\dfrac {k²+3k}{2}   et \min_ E_k=\dfrac{k²+k}{2}  
\max E_k  +1 =\dfrac {k²+3k}{2}+1 =\dfrac {k²+3k+2}{2}=\dfrac{(k+1)²+(k+1)}2=\min E_{k+1}

montrons la seconde inclusion
soit m\in \N montrons que m\in \cup E_k _{k \in \N}


 \cup (E_k)_{k=0}^{k=m}=E_0 \cup E_1 \cup E_2\cup...\cup E_m=   
 \\  \\ =\{0\} \cup \{1;2\} \cup \{3;4;5\} \cup .....\cup \{ \dfrac{m(m+1)}2;\dfrac{m(m+1)}2+1....\dfrac{m(m+1)}2+m  \}
 \\  \\ \{0;1;2;3;.......\dfrac{m(m+1)}2 
 \\  ;\dfrac{m(m+1)}2+1....\dfrac{m(m+1)}2+m  \}

m\leq \dfrac{m(m+1)}2  \forall m\geq 1
les elements des E_k se suivent  donc m \in \cup E_k _{k=0}^{k=m}  \subset  \cup E_k _{k \in \N}

c) determiner f(Dk) pour tout k de N

 f(Dk) = \{f(m;n) /m+n=k\}=\{\dfrac {k(k+1)}2+n / m+n=k\}=\{\dfrac {k(k+1)}2+j /   j \in [0;k] \}=E_k

d/ montrer  que f est une bijection de Dk dans Ek

ona f(D_k)=E_k donc f surjective de D_k\to E_k
or card D_k=card E_k=k+1 donc f bijective
de D_k\to E_k
les (D_k) d une part forment une partition de \N^2 et les (E_k) d autre part forment une partition de N
donc f bijection de \cup (D_k)_{k\in \N} =\N² \to\cup (E_k)_{k\in \N}=\N

e)determiner f^{-1}(2022)

f(p;q)=2022 \implies \dfrac {(p+q)(p+q+1)}2+q=2022
posons t=p+q
donc  \dfrac {t(t+1)}2 \leq  2022
t²+t-4044 \leq  0
le plus grand entier verifiant l inegalité precedante est t=p+q=63  donc q=6  et p=57
et merci

Posté par
carpediem
re : application de Cantor 15-10-22 à 09:16

ok c'est mieux ... mais quelques remarques cependant :


1/ oui il fallait vérifier que f(m, n) est bien un entier


2a/ il n'est pas nécessaire de faire un raisonnement par l'absurde :

tout d'abord il est immédiat que :

pour tout k : (k, 0) \in D_k donc D_k n'est pas vide

pour tout couple (m, n) : (m, n) \in D_{m + n}

or m + n = p et m + n = q p = q donc les ensembles D_k sont disjoints

d'où la conclusion


2b/ il est évident que les E_k ne sont pas vides car ils contiennent k + 1 entiers (différence des bornes + 1)     OU   ils contiennent leurs bornes qui sont des entiers ...

ensuite tu te compliques bien les choses :

carpediem @ 13-10-2022 à 19:23

\min E_k - 1 = \max E_{k - 1} $ et $ \max E_k + 1 = \min E_{k + 1}
ce qui prouve que les E_k sont disjoints et recouvrent N

en particulier il est immédiat que pour tout entier n :  n \in \cup_0^n E_k (car n < n(n + 1)/2)


c/ ok ... mais pourquoi transformer n en j ?


ok pour la fin (mais bof pour le changement de variable pas nécessaire)

\dfrac 1 2 (p + q)(p + q + 1) + q = 2022 \iff (p + q)(p + q + 1) + 2q = 4044

or (p + q)^2 \le (p + q)(p + q + 1) + 2q donc ... donc p + q = 63

Posté par
aya4545
re : application de Cantor 15-10-22 à 11:44

Bonjour
merci carpediem c est  gentil de votre part et bonne journée

Posté par
carpediem
re : application de Cantor 15-10-22 à 11:47

de rien



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