Bonjour,

Je met ">" pour faire un commentaire, la démo reprend après le commentaire.

Je ne comprend pas une démo d'un exercice, la voici :

Pour tout entier naturel non nul noté n, on note D(n) l'ensemble des diviseurs positifs de n. Etant donné (a,b) € IN*xIN*, on considère l'application :
P : D(a)xD(b) -> D(ab)
      (u,v) -> (uv)

Montrer que p est surjective, et est injective si et seulement si a et b sont premiers entre eux.

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Pour la surjectivité :

Si d € D(ab), il existe q tel que ab = dq.

> Ok, par définition

Posons k = pgcd(a,d). Il existe des entier a' et d' tels que ka' = a et kd' = d.
On a alors a'b = d'q. Comme pgcd(a',d') = 1, et comme d' divise a'b, le théorème de Gauss montre que d' divise b.
Ainsi, d = kd' où k divise a et d' divise b.
Celà s'écrit d = p(k,d') € D(a)xD(b) et montre la surjectivité de p.

> Je comprends pas la dernière ligne pour cela s'ecrit d= truc ? et cela montre la subjectivité ?
Je pense que d divise ab, mais je comprends pas pourquoi ça s'écrit d=p(k,d') € D(a)xD(b)...

Pour l'injectivité :

Il s'agit de montrer que si a,b sont premiers entre eux, alors p est injective.
Soit : p(u,v) = p(u',v') => (u,v)=(u',v')

Si uv = u'v', tout diviseurs commun de u et v' sera commun a a et b, donc sera égal à 1. Et donc pgcd(u,v') = 1

> Pourquoi on parle des diviseurs de u et v' ? Je n'arrive pas à voir la logique

Comme u divise u'v', et pgcd(u,v') = 1, on aura u divise u', de même on trouve également que u' divise u, et donc u' = u et v' = v

> ça ok c'est Gauss

Récproquement, si p est injective, soit pgcd(a,b) = k. On remarque k divise a et k divise b et k divise aussi ab.

> c'est valable tout le temps ça ?

Comme k = p(k,1) = p(1,k), l'injectivité impose d'avoir k = 1 et donc pgcd(a,b) = 1.

> Je ne comprends pas pourquoi k = p(k,1) = p(1,k)....

Voilà merci