Niveau Reprise d'études

Application injective/surjective de R^2 dans R

Posté par
Supradyn 25-09-16 à 17:47

Bonjour,

Je viens vous voir aujourd'hui car je n'arrive pas à résoudre correctement un exercice dont la donnée est la suivante:

Etudiez l'injectivité et la surjectivité de l'application suivante:

$\color{blue} f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R},$
$\color{blue} (x, y) \mapsto x-y^3$

J'utilise par la suite la notation $x=(x_1, x_2)$ et $y=(y_1, y_2)$ .
Pour ce qui est de l'injectivité, je peux bien sûr utiliser un contre-exemple (comme f(x)=f(y) avec $x=(0,0)$ et $y=(1,1)$ , mais $x=(0,0)$ n'est pas égal à $y=(1,1)$ ). Seulement, j'aimerais trouver un autre moyen de prouver la non-injectivité, sans utiliser de contre-exemple. J'ai d'abord essayé de montrer l'injectivité, mais je restais tout le temps bloquée sans savoir comment faire pour en tirer la conclusion "ce n'est pas injectif". En effet:
f(x)=f(y)
$\Rightarrow x_1 - (x_2)^3 = y_1 - (y_2)^3$

...Mais que faire ensuite? On a une équation et 4 inconnues... comment suis-je censée arriver au fait que $(x_1, x_2) \ne (y_1, y_2)$ ?

Idem pour la surjectivité. Rappel de la définition: $f$ est surjective si $\forall y \in \mathbb{R}, \exists x=(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2$ tel que $f(x)=y$ .

Donc:
f(x)=y
$\Rightarrow x_1 - (x_2)^3 = y$
$\Leftrightarrow (x_2)^3 = x_1-y$

...et après? Puisqu'on est dans $\mathbb{R}$ , je n'arrive pas à isoler mon $x=(x_1, x_2)$ (qui est dans $\mathbb{R}^2$ ) pour ensuite le remplacer dans f(x) et tomber sur y...

Bref, je suis totalement perdue. Un petit coup de main serait le bienvenu!

Merci d'avance et bonne soirée!

Posté par re : Application injective/surjective de R^2 dans R 25-09-16 à 18:12

bonjour,
dans ce cas un contre exemple suffit pour faire une démonstration , pourquoi chercher une complication ?
Quant à la surjection , tout réel z peut s'écrire $0-(-^3\sqrt{z})^3=f(0,(-^3\sqrt{z}))$

Posté par re : Application injective/surjective de R^2 dans R 25-09-16 à 20:32

Bonjour,

Merci beaucoup pour votre réponse. Est-ce que cela signifie que, pour la surjection, un exemple suffit également?

Pour l'injectivité, je suis d'accord avec ce que vous dites, mais ce qui m'inquiète c'est le fait que je puisse tomber un jour sur une fonction qui ne soit pas injective et pour laquelle trouver des contre-exemples serait difficile. Que faire dans une telle situation pour s'en sortir?

Posté par re : Application injective/surjective de R^2 dans R 26-09-16 à 10:50

bonjour,
Quand une application n'est pas injective, il est en général pas trop difficile de trouver  ce qui "coince" .
Pour la surjection, on ne peut pas dire qu'il  s'agit d'un exemple  à proprement dit, je prouve que $\forall z \in\mathbb{R}, \exists (x,y) \in \mathbb{R}^2  tq  f(x,y)=z$ .
J'ai trouvé une partie stricte de $\mathbb{R}^2$ dont l'image par  f  est   $\mathbb{R}$ .
d'une manière générale  f:E-->F est  surjective   ssi  f(E)=F
ici  f: R²---> R
or on a démontré que si je note A les couples particuliers $(0,^3\sqrt{-z})$ , on a $\mathbb{R} \subset f(A)$   et par définition $f(A) \subset \mathbb{R}$
donc $f(A)=\mathbb{R}$

Posté par re : Application injective/surjective de R^2 dans R 26-09-16 à 10:53

Re,
errata
à la dernière ligne lire $(0,-^3\sqrt{-z})$

Posté par re : Application injective/surjective de R^2 dans R 26-09-16 à 11:20

Bonjour Supradyn

Pour la non injectivité de f, tu noteras que $f(\left\{(x, y)\in \R^2 / y^3 = x\right\}) = \left\{0\right\}$ . C'est-à-dire que tu as un sous-ensemble non dénombrable de ² qui a pour image 0 : tu ne peux guère faire mieux pour prouver qu'elle n'est pas injective.

Quand à sa surjectivité, tu noteras que tout réel a au moins pour antécédent le couple (,0). D'où sa surjectivité.