Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau autre
Partager :

application linéaire:

Posté par
betterfly66
29-10-14 à 16:18

bonsoir tout le monde

je bute sur certaines questions de mon exercice, quelqu'un pourrait-il m'aider?

voilà l'énoncé
soit A la matrice:,


1 2
0 0 .pour M appartenant à M2(R) on pose f(M)=A.M

1) montrez que f est un endomorphisme de M2(R)

2) déterminez ker(f) ainsi qu'une base de cet espace vectoriel..

soit B la matrice

1 0     0 1     0 0     0 0
0 0 ,   0 0 ,   1 0 ,   0 1


déterminez la matrice A de f dans B ( en fait B c'est quatre matrice 2-2, je ne sais pas comment utiliser latex, d'où mon écriture, )

4 ) trouvez Im(f). quel est le rang de f?

voilà ce que j'ai fais.

1) je trouve que f est une application linéaire, donc f est un endomorphisme

2) je trouve ker(f)= vect (-2,1), (0,0). je ne sais pas comment trouver la base d'un noyau,

et pour la question trois je ne sais pas quoi faire


4) pour l'image je trouve Im(f) = vect (1,0), (0,2)

pour la suite de la question, je sais qu'il faut utiliser le théorème du rang, mais je n'arrive pas à finir mon calcul.  

Posté par
cplusplus
re : application linéaire: 29-10-14 à 18:19

-pour la question 1 c'est bon

- pour la question 2 je crois que il y a une erreur car un vecteur de base n'est jamais nul. bon pour trouver une base, si tu as écrit E=vect{(x,y),(u,v)} il faut juste vérifier que les vecteurs (x,y),(u,v) sont linéairement indépendants. si ils le sont alors tu peux conclure que (x,y),(u,v) est une base de E.

-pour la question 3 tu dois juste calculer: f(1 0)
                                             (0 0) car f(M)=A.M cela se le premier composant de ta matrice tu fais de même
pour les trois autres  


-pour la question 4. le rang de f est juste la dimension de im(f) qui sera 2 je crois

Posté par
veleda
re : application linéaire: 29-10-14 à 18:54

bonjour,
1)il ne faut pas oublier de dire que f(M) M2(R)

2)les éléments de Kerf sont des matrices de M2(R)
est ce que tu voulais  indiquer  la matrice
(-2 0)
(1  0)  ?

Posté par
cplusplus
re : application linéaire: 29-10-14 à 19:56

Merci c vrai j'ai oublié de préciser pour le 1)

et pour le 2) je voulais juste l'expliquer comment trouver ker(f) en trouvant aussi aussi la base mais comme tu dis il ne dois pas oublier qu'on est dans M2(R)

Posté par
betterfly66
re : application linéaire: 30-10-14 à 06:20

donc pour ker(f) je trouve
x  y
      * A =
u  v


vect    \left(\begin{array}{l}-2  0\\1  0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0  -2\\0   1\end{array}\right) 
 \\     

avec u et v


et donc je dois conclure que \left(\begin{array}{l}x   y\\u   v\end{array}\right) 
 \\

est une base de ker(f)? c'est bien ça

Posté par
betterfly66
re : application linéaire: 30-10-14 à 06:52

et pour la question quatre

j'ai pris deux réels x e y et je trouve

x(1,0)+y(2,0)= im(f)

Posté par
DOMOREA
application linéaire: 30-10-14 à 09:39

bonjour,
Il y a des points que tu devras bien comprendre .
essaye de répondre aux 4 points suivants:

1. Tu sembles avoir trouvé  ker(f), quelle est sa dimension ?
2. Tu utilises la lettre A pour deux choses complétement différentes, le vois-tu?
3. Quelle est à ton avis la dimension de M2(R)?
4. L'application linéaire f définie de M2(R) dans M2(R)
Aura une matrice dans la base de M2(R)
Combien de lignes et combien de colonnes aura cette matrice ?

Posté par
betterfly66
re : application linéaire: 30-10-14 à 10:33

la dimension de ker(f) = 2



2)

Citation :
2. Tu utilises la lettre A pour deux choses complétement différentes, le vois-tu?
  non désolé je ne vois pas.


la dimension de M2 R est 1 car la colonne deux est le double de la colonne une

mais par rapport au ligne, les deux lignes sont linéairement indépendantes.


4) cette matrice aura deux lignes et deux colonnes

Posté par
DOMOREA
application linéaire: 30-10-14 à 11:59

Bonjour,
Ok pour la dimension de ker(f)
Tu as défini A=(\begin{array} {cc}1& 2\\0 & 0\end{array})
or plus loin tu écris : Soit A la matrice de f, La première matrice A permet de définir f, mais ce n'est pas la matrice de f
il faut que tu réfléchisses plus , essaye de comprendre ce que je te demande plus loin.
tu as écris quelque part un ensemble que tu as appelé B, il s'agit de la base canonique de M2(R), il y a 4 matrices b1,b2,b3,b4 elles sont linéairement indépendantes. et il est clair qu'elle engendrent M2(R) donc ......
La matrice de f est définie par les  f(bi) i\in{1,2,3,4}
Comment calcules-tu f(bi) et comment écris-tu f(bi) dans l'ensemble B

Posté par
betterfly66
re : application linéaire: 30-10-14 à 13:23

pour calculer ker(f) ne faut-il pas utiliser la relation M.A=0 ?  (je suis désolé mais j'ai vraiment du mal à comprendre ce chapitre tout se ressemble).
j'ai pris une matrice quelconque de M avec comme coordonnées (x, y, u, v), ensuite j'ai écris la relation sous forme d'un système pour trouver ker(f).

Citation :
tu as écris quelque part un ensemble que tu as appelé B, il s'agit de la base canonique de M2(R), il y a 4 matrices b1,b2,b3,b4 elles sont linéairement indépendantes. et il est clair qu'elle engendrent M2(R) donc
les quatres matrices sont linéairement indépendantes donc elles forment une base de ker(f) NON ?


f(bi)= x(b1) +y(b2)+ u(b3) +v(b4) non ?

Posté par
DOMOREA
application linéaire: 30-10-14 à 14:28

Bonjour,
tu reviens sur le noyau ker(f) mais je viens de te dire que c'est juste.
tu as trouvé les deux vecteurs indépendants (donc ici 2 matrices)
N1=(\begin{array} {cc} -2&0\\1 &0\end{array}) et N2=(\begin{array} {cc} 0&-2\\0 &1\end{array}) cela constitue une base du noyau, donc pas de PB, dim k(f)=2
Il n'y a que ta"conculsion " où tu écris
"donc (\begin{array} {cc} x&y\\u &v\end{array})" ce qui n'a aucun sens ou alors tu aurais pu écrire une matrice du noyau est de la forme    xN_1+yN_2=(\begin{array} {cc} -2x&-2y\\x &y\end{array})

Je reviens maintenant à la suite de ta question/
Je te demande de calculer par exemple f(b1)
Tu as par définition f(b1)=Ab1=(\begin{array} {cc} 1&2\\0 &0\end{array})(\begin{array} {cc} 1&0\\0 &0\end{array})=(\begin{array} {cc} 1&0\\0 &0\end{array})=b_1
Deux autres exemples et tu calculera le dernier
f(b2)=Ab2=(\begin{array} {cc} 1&2\\0 &0\end{array})(\begin{array} {cc} 0&1\\0 &0\end{array})=(\begin{array} {cc} 0&1\\0 &0\end{array})=b_2

f(b3)=Ab3=(\begin{array} {cc} 1&2\\0 &0\end{array})(\begin{array} {cc} 0&0\\1 &0\end{array})=(\begin{array} {cc} 2&0\\0 &0\end{array})=2b_1

Quand tu auras calculer f(b4) tu écriras la matrice de f dans la base (b1,b2,b3,b4)qui est une matrice de M4(\mathbb{R})

Posté par
betterfly66
re : application linéaire: 30-10-14 à 15:00

ah d'accord

donc f(b4)=2b2

mais je trouve quatre matrices deux-deux

donc la matrice de f dans la base B =

  \left(\begin{array}{l} 1  0\\0  0\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}0  1\\0  0\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}2  0\\0  0\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}0  2\\0  0\end{array}\right)



,  

Posté par
DOMOREA
application linéaire: 30-10-14 à 15:13

Re
non tu n'as pas compris que la matrice de f a 4 lignes, 4 colonnes
Je te l'écris car je vais m'éloigner de mon ordi
M_B(f)=\left(\begin{array} {cccc} 1&0&2&0\\0&1&0&2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)
Tu peux remarquer sur la matrice une mise en évidence du rang de f avec les 2 dernières lignes nulles

Posté par
betterfly66
re : application linéaire: 30-10-14 à 17:08

d'accord merci beaucoup


je trouve cette relation pour l'image

x' = x + 2z

y'= y+2t

Z'=0

t'=0

je ne sais pas comment faire ensuite , je ne sais pas calculer l'image d'une matrice, s'il faut trouver un vecteur sous la forme d'une matrice deux-deux comme dans l'exercice.

Posté par
veleda
re : application linéaire: 31-10-14 à 07:29

( f(b_1),f(b_2),f(b_3),f(b_4)) est une famille génératrice de Im(f)  
maisf(b_3)=2f(b_1)  f(b_4)=2f(b_2)   que peux-tu en déduire pour la famille(f(b_1),f(b_2))

Posté par
betterfly66
re : application linéaire: 31-10-14 à 08:11

donc
im(f)= vect(f(b1),f(b2)) et c'est aussi une base de im(f), car la famille est libre,  non?

Posté par
veleda
re : application linéaire: 31-10-14 à 14:38

oui,c'est correct

Posté par
betterfly66
re : application linéaire: 01-11-14 à 14:49

merci beaucoup de m'avoir aidé.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1687 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !