Niveau Reprise d'études

Application linéaire injective

Posté par
Milka3 18-03-21 à 15:01

Bonjour,
je bloque sur la compréhension de l'exercice suivant.
On considère $u$ une application linéaire de $E$ dans $E'$ injective. Je dois montrer que $dim(u(F))=dim(F)$ où $F$ est un ssev de $E$ dimension finie.

Pour cela, j'introduis une base $(e_1,\cdots ,e_p)$ de $F$ de sorte que :
1. La famille $(e_1,\cdots ,e_p)$ est libre ;
2. La famille $(e_1,\cdots ,e_p)$ est génératrice : $F=vect(e_1,\cdots ,e_p)$ .

- Puisque $u$ est injective et que $(e_1,\cdots ,e_p)$ est libre alors $(u(e_1),\cdots ,u(e_p))$ est également libre.

- Par ailleurs, $u(F)=u(vect(e_1,\cdots ,e_p))=vect(u(e_1),\cdots ,u(e_p))$ . La famille $(u(e_1),\cdots ,u(e_p))$ est donc génératrice.

C'est une base de $u(F)$ .

On a donc $dim u(F)=p$ , et donc dim $u(F)=dim F$ .

Est-ce que mon raisonnement se tient ?

Posté par re : Application linéaire injective 18-03-21 à 15:05

Bonjour,

Milka3 @ 18-03-2021 à 15:01

- Puisque $u$ est injective et que $(e_1,\cdots ,e_p)$ est libre alors $(u(e_1),\cdots ,u(e_p))$ est également libre.

Pourquoi ? Le noeud de l'exercice est ici.

Posté par re : Application linéaire injective 18-03-21 à 15:05

Bonjour
Oui, c'est OK.

Posté par re : Application linéaire injective 21-03-21 à 09:54

Merci pour vos retours !
@GBZM
Je dirais qu'il faut considérer une combinaison linéaire nulle et montrer que les scalaires introduits sont nuls. Je fais le cas n=3 :

$a_1 u(e_1)+a_2 u(e_2)+a_3 u(e_3) = 0 \Leftrightarrow u(a_1 e_1 + a_2 e_2 +a_3 e_3) = u(0)$ par linéarité.

L'injectivité exige $a_1 e_1 + a_2 e_2 +a_3 e_3=0$ et donc par liberté de la famille initiale, on a $a_1=a_2=a_3=0$ .

Il me semble que cela fonctionne !