Bonjour: notons n l'indice de nilpotence de a.
le calcul de f^(2n) par la formule du binôme pourra te convaincre du résultat !

Bonjour

Attention hatimy, comme de toute évidence on est dans un anneau non commutatif, la formule du binôme est formellement interdite et d'ailleurs, inutile, puisqu'il s'agit de composition.

On a f(f(x))=a(ax-xa)-(ax-xa)a=a²x-axa+axa-xa²=a²x-xa²

Je vous laisse le plaisir d'essayer encore...

bonjour camelia et merci
si c'etait comme ça ...
a(ax-xa)-(ax-xa)a= a²x-axa - axa +xa²
                  = a²x -2axa + xa²
donc : f²(x)= a²x -2axa +xa²
je ne sais pas si on peut generaliser cette expression jusqu'a l'indice de nilpotence de a

Mais oui, tu as raison! C'est moi qui me suis mélangé dans les signes!

f³(x)=a³x-2a²xa+axa²-a^2x+2axa²-xa³

Je pense que l'on doit pouvoir démontrer par récurrence que dans f^k le premier ou le dernier a de chaque monôme est de degré au moins k-1.

rebonjour
on constate donc que le premier terme et le dernier terme en a ont la meme piussance que f
et les autres sont de puissance  - 1
donc si a rest nilpotent d'indice m , a^m=0 et a ^m-10
donc f^m+1=0
est ce que cette demonstration est correcte ?

C'est bien à ça que je pensais, mais fais soigneusement la récurrence.

merci beaucoup camelia

Bonjour ;

On peut montrer par récurrence que pour tout entier naturel , _{(sauf erreur)}

N.B voir endomorphisme de L(E)

Salut Camélia

Bonjour elhor

Lire _{(sauf nouvelle erreur)}

Donc en fait si a^m=0, il faut quand même aller à f^2m pour que k ou p-k soit plus grand que m.