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Posté par
grungie
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 28-12-15 à 22:30

Comment avez vous trouvé 2/n et /n dans vos figures ?

Posté par
Jedoniezh
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 08:21

Le tour d'un cercle, c'est 2\pi.
Il y a autant de côté pour le polygone qu'il y a d'angles égaux.

Posté par
grungie
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 11:10

Donc l'angle au centre vaut 2/n ou 2/(3 x 2n) ?
(3 x 2n représente le nombre de côtés)

Posté par
Jedoniezh
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 11:22

Oui.
L'angle au centre pour le polygone intérieur.

Posté par
Jedoniezh
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 11:24

Non, c'est \dfrac{2\pi}{n} pour 3\times 2^n côté, et ce pour le polygone intérieur.

Posté par
grungie
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 11:35

Ok. Et donc pour le polygone extérieur c'est /n pour 3 x 2n côtés ?

Posté par
lake
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 11:47

Bonjour,

Que ce soit pour le polygone intérieur ou extérieur, l' angle intercepté par un côté est le même.

Il vaut \dfrac{2\pi}{3\times 2^n}

Posté par
grungie
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 11:54

Bonjour lake ! D'accord je comprend mieux car je me disais aussi que le nombre de côtés était le même pour le polygone intérieur et extérieur 😀 Pouvez vous m'aidez pour la question 2) b) ? Ce dm est vraiment compliqué et je ne comprend pas pourquoi mon professeur m'a donné cet exercice, en effet il s'agit d'un devoir maison pour les élèves étant le moins en difficultés mais aucun d'entre nous n'y arrivé

Posté par
Jedoniezh
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 11:55

Merci Lake, je commençais à m'y perdre moi aussi ...

Posté par
grungie
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 11:57

J'espère qu'au bac nous n'aurons pas un exercice de ce genre car sinon c'est la catastrophe

Posté par
lake
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 12:08

Si j' ai l' aval de Jedoniezh,  je peux continuer, oui...

Il y a quelques petites difficultés dans la partie 4)...

Posté par
grungie
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 12:12

@Jedoniezh @lake en fait pour la question 2) b) je comprend juste le 3 x 2n qui représente le nombre de côtés et le /(3 x 2n) qui représente en fait l'angle qui intercepte un côté mais divisé par 2 car pn et qn représente un demi-périmètre. Maintenant, je ne comprend pas l'expression dans son ensemble et d'où vienne le sin dans l'expression de pn et le tan dans l'expression de qn...

Posté par
Jedoniezh
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 12:16

Vas y Lake je t'en prie.
J'étais partie sur une lancée mais ça s'est dilué dans le temps et je me suis perdu en route.
Je regarde de loin.

Posté par
lake
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 12:48

2)b) Un dessin:

Approximation de π par la méthode d\'Archimède

[AB] et [CD] représentent respectivement un côté du polygone intérieur P_n et extérieur Q_n

BH=OB\,\sin\,\dfrac{\pi}{3\times 2^n}=\sin\,\dfrac{\pi}{3\times 2^n} puisque OB=1

AB=2\,BH=2\,\sin\,\dfrac{\pi}{3\times 2^n}

donc p_n=\dfrac{1}{2}\,\text{ nombre de côtés }\times AB=3\times 2^n\,\sin\,\dfrac{\pi}{3\times 2^n}

De la même manière:

DE=OE\,\tan\,\dfrac{\pi}{3\times 2^n}=\tan\,\dfrac{\pi}{3\times 2^n} puisque OE=1

CD=2\,DE=2\,\tan\,\dfrac{\pi}{3\times 2^n}

donc  q_n=\dfrac{1}{2}\,\text{ nombre de côtés }\times CD=3\times 2^n\,\tan\,\dfrac{\pi}{3\times 2^n}

C' est un début; je n' aurai pas le temps cet après midi, mais je continuerai ce soir...

Posté par
Jedoniezh
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 12:50

Joli Lake !  

Posté par
lake
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 12:55

Merci Jedoniezh

Posté par
grungie
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 13:28

Merci ! Comment savez vous que BH = OB sin (/(3 x 2n) ?

Posté par
Jedoniezh
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 13:36

sinus = coté opposé/hypothénuse

Posté par
lake
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 13:42

3)a) a_n=\dfrac{\pi}{3\times 2^n}=2\,\dfrac{\pi}{3\times 2^{n+1}}

a_n=2\,a_{n+1}

\sin\,a_n=\sin\,2\,a_{n+1}

\boxed{\sin\,a_n=2\,\sin\,a_{n+1}\,\cos\,a_{n+1}}

1+\cos\,a_n=1+\cos\,2\,a_{n+1}

\boxed{1+\cos\,a_n=2\,\cos^2a_{n+1}}

3)b) \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{p_n}+\dfrac{1}{q_n}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3\times 2^n\,\sin\,a_n}+\dfrac{1}{3\times 2^n\,\frac{\sin\,a_n}{\cos\,a_n}}\right)

 \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{p_n}+\dfrac{1}{q_n}\right)=\dfrac{1}{3\times 2^{n+1}}\,\dfrac{1+\cos\,a_n}{\sin\,a_n}

puis en utilisant 3)a):

\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{p_n}+\dfrac{1}{q_n}\right)=\dfrac{1}{3\times 2^{n+1}}\,\dfrac{2\,\cos^2a_{n+1}}{2\,\sin\,a_{n+1}\,\cos\,a_{n+1}}

\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{p_n}+\dfrac{1}{q_n}\right)=\dfrac{1}{3\times 2^{n+1}\,\tan\,a_{n+1}}

\boxed{\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{p_n}+\dfrac{1}{q_n}\right)=\dfrac{1}{q_{n+1}}}

\sqrt{p_n\,q_{n+1}}=\sqrt{\dfrac{(3\times 2^n)^2\times 2\,\sin\,a_n\,\sin\,a_{n+1}}{\cos\,a_{n+1}}}=3\times 2^n\sqrt{\dfrac{2\,\sin\,a_n\,\sin\,a_{n+1}}{\cos\,a_{n+1}}}

puis en remplaçant \sin\,a_n par 2\,\sin\,a_{n+1}\,\cos\,a_{n+1}:

\sqrt{p_n\,q_{n+1}}=3\times 2^n\,\sqrt{4\,\sin^2a_{n+1}}=3\times 2^{n+1}\,\sin\,a_{n+1}

\boxed{\sqrt{p_n\,q_{n+1}}=p_{n+1}}

La suite ce soir...

Posté par
grungie
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 13:44

D' accord je vais réfléchir à tout cela en attendant, en tout cas merci beaucoup !

Posté par
grungie
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 18:44

Bonsoir, je ne comprend pas comment vous passez de (1/2)(1/(3 x 2n x sin(an)) + 1/(3 x 2n x(sin(an))/(cos(an))) à (1/(3 x 2n+1)) ((1 + cosan)/sinan))?

Posté par
lake
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 19:31

4a) \forall x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right[ , 0<\cos\,x\leq 1

  donc 1\leq \dfrac{1}{\cos\,x} et comme \sin\,x\geq 0
 \\ 
 \\      \sin\,x\leq \dfrac{\sin\,x}{\,cos\,x}

c' est à dire \sin\,x\leq \tan\,x

Avec x=a_n=\dfrac{\pi}{3\times 2^n}\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right[, on obtient:

   \sin\,a_n\leq \tan\,a_n

 3\times 2^n\,\sin\,a_n\leq 3\times 2^n\,\tan\,a_n

Soit \boxed{p_n\leq q_n}

4)b) (q_n) est une suite à termes positifs.

Avec 3)b), on sait que  \dfrac{1}{q_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{p_n}+\dfrac{1}{q_n}\right)

donc \dfrac{q_n}{q_{n+1}}=\dfrac{1}{2}q_n\left(\dfrac{1}{p_n}+\dfrac{1}{q_n}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{q_n}{p_n}+1\right)

Mais comme 0<p_n\leq q_n, alors \dfrac{q_n}{p_n}\geq 1

On en déduit: \dfrac{q_n}{q_{n+1}}\geq 1 ou si tu préfères: \dfrac{q_{n+1}}{q_n}\leq 1

Donc la suite (q_n) est décroissante.

4)c) On sait d' après 4)a) que:

 p_{n+1}\leq q_{n+1} or d' après 3)b):  p_{n+1}=\sqrt{p_nq_{n+1}} donc:

 \sqrt{p_nq_{n+1}}\leq q_{n+1}

  p_nq_{n+1}\leq q_{n+1}^2 et comme q_{n+1}>0:

\boxed{p_n\leq q_{n+1}}

On en déduit: p_n^2\leq p_nq_{n+1}

 p_n\leq \sqrt{p_nq_{n+1}}

Soit p_n\leq p_{n+1}  avec 3)b)

La suite (p_n) est donc croissante.

4)d) On sait d' après 3)b) que  \dfrac{1}{q_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{p_n}+\dfrac{1}{q_n}\right)

Donc q_{n+1}=\dfrac{2}{\frac{1}{p_n}+\frac{1}{q_n}}=\dfrac{2\,p_nq_n}{p_n+q_n}

Or 0\leq (p_n-q_n)^2=(p_n+q_n)^2-4p_nq_n

donc 4p_nq_n\leq (p_n+q_n)^2

donc encore \dfrac{2p_nq_n}{p_n+q_n}\leq \dfrac{1}{2}\,(p_n+q_n)

On a donc bien \boxed{q_{n+1}\leq \dfrac{1}{2}\,(p_n+q_n)}

 p_{n+1}\geq p_n (croissance de (p_n)).

-p_{n+1}\leq -p_n

q_{n+1}-p_{n+1}\leq q_{n+1}-p_n\leq \dfrac{1}{2}(p_n+q_n)-p_n avec la question précédente.

\boxed{q_{n+1}-p_{n+1}\leq \dfrac{1}{2}(q_n-p_n)}  (1)

On montre ensuite par récurrence que q_n-p_n\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,.\,\left(\dfrac{1}{2}\right)^n

Initialisation:

On a bien q_0-p_0=3\sqrt{3}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}

La propriété est donc vraie au rang 0

Hérédité:

On suppose que la propriété est vraie pour un entier naturel fixé n:

q_n-p_n\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,.\,\left(\dfrac{1}{2}\right)^n

Alors, q_{n+1}-p_{n+1}\leq \dfrac{1}{2}(q_n-p_n)\leq   \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,.\,\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} avec (1) et l' hypothèse de récurrence.

L' hérédité est prouvée pour tout n\in\mathbb{N}:

\boxed{q_n-p_n\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,.\,\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}

4)e) On a 0\leq q_n-p_n\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,.\,\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}

Le théorème dit des "gendarmes" permet d' affirmer que \lim\limits_{n\to +\infty}q_n-p_n=0

De plus (p_n) est croissante et (q_n) est décroissante.

Les deux suites sont donc adjacentes.

Elles sont donc convergentes et ont la même limite.

Le 5) plus tard...

Posté par
lake
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 29-12-15 à 19:39

Citation :
je ne comprend pas comment vous passez de (1/2)(1/(3 x 2n x sin(an)) + 1/(3 x 2n x(sin(an))/(cos(an))) à (1/(3 x 2n+1)) ((1 + cosan)/sinan))?


A=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3\times 2^n\,\sin\,a_n}+\dfrac{1}{3\times 2^n\,\frac{\sin\,a_n}{\cos\,a_n}}\right)

On met \dfrac{1}{3\times 2^n} en facteur:

A=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{1}{3\times 2^n}\left(\dfrac{1}{\sin\,a_n}+\dfrac{1}{\frac{\sin\,a_n}{\cos\,a_n}}\right)

A=\dfrac{1}{3\times 2^{n+1}}\left(\dfrac{1}{\sin\,a_n}+\dfrac{\cos\,a_n}{\sin\,a_n}\right)

A=\dfrac{1}{3\times 2^{n+1}}\,\dfrac{1+\cos\,a_n}{\sin\,a_n}

Posté par
lake
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 30-12-15 à 10:30

5a) Pour tout x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}[, on a \sin\,x\leq x\leq \tan\,x

Avec x=\dfrac{\pi}{3\times 2^n}, on obtient:

\sin\,\dfrac{\pi}{3\times 2^n}\leq \dfrac{\pi}{3\times 2^n}\leq \tan\,\dfrac{\pi}{3\times 2^n}

puis en multipliant par 3\times 2^n:

\boxed{p_n\leq \pi\leq q_n}

5)b) Soit \ell=\lim\limits_{n\to +\infty}p_n=\lim\limits_{n\to +\infty}q_n

  En passant à la limite dans la relation du 5)a), on obtient:

   \ell\leq \pi\leq \ell

Donc \boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}p_n=\lim\limits_{n\to +\infty}q_n=\pi}

6) Un tableur et les relations de récurrences donnent pour n=11 :

   3.141592\leq \pi\leq 3.141593    

Posté par
grungie
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 30-12-15 à 11:28

D'accord je vais réfléchir et essayer de comprendre tout cela   Merci beaucoup pour votre aide et votre patience !! et merci aussi à Jedoniezh pour m'avoir aiguillé au debut de mon DM !

Posté par
lake
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 30-12-15 à 11:31

Posté par
Jedoniezh
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 30-12-15 à 13:05

Merci Lake.

Posté par
tchicuissejr
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 12-01-20 à 22:35

Merci lake

*** propos qui n'ont rien  à voire avec l'exo ***

Cordialement
*** pas de noms ***
???

Posté par
tchicuissejr
re : Approximation de π par la méthode d'Archimède 12-01-20 à 22:51

*** propos qui n'ont rien à faire sur un forum de maths ***

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