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Approximation de ln(2)

Posté par
alexandre058
06-04-13 à 17:29

Bonjour à tous, voilà j'ai un exercice de math à faire et je dois avouer que je bloque sur 2 questions...

Voici l'énoncé: * Tom_Pascal > alexandre058, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum. *

Pour la question:

1) a) je dis que: 0 < t^n < 2t^n

<=>    0 < t^n/(1-t) < 2t^n/(1-t)  
  
<=>  0 < In < 2 de 0 à 1/2 de t^n/(1-t) dt < 2 de 0 à 1/2 de t^n dt

b) 2de 0 à 1/2 t^n = 2 [(1/(n+1))*t^(n+1)] de 0 à 1/2 = 1/(n+1)  *  1/(2^(n+1)  =  1/((2^n)*(n+1))

2) a) Je retrouve aussi le bon résultat mais c'est un peu compliqué à écrire...

Cependant les questions 2) b) et c) je ne vois pas du tout comment elles fonctionnent... Pour la question 2) b) Il faut la déduire de la

2) a) Mais je ne vois vraiment pas le rapport entre les deux...

Merci beaucoup de m'éclairer sur ces questions!

Bonne journée à vous.

Posté par
ravinator
re : Approximation de ln(2) 06-04-13 à 18:00

Bonjour à toi,
Pour la 1)a) , je pense que tu t'es un peu arrangé et que c'est faux. En gros tu as prouvé que In <= 2 In et pas ce que l'on demande

Il faut prouver que pour tout t dans [0;1/2] , \frac{1}{1-t} \leqslant 2

Après il faut effectivement intégrer puis th des gendarmes pour la limite

2) \sum_{k=0}^{n-1}t^k = \frac{1-t^n}{1-t} puisque t différent de 1 et on conclut facilement

b) intégrer entre 0 et 1/2 semble être une bonne idée...

c) Avec les questions précédentes :
ln2 - \sum_{k=1}^n\frac{1}{k2^k} = I_n \leqslant \frac{1}{2^n(n+1)} donc on a une majoration de l'erreur en approchant ln 2 grâce à la somme

Il reste donc à trouver "le bon" n  

Posté par
alexandre058
re : Approximation de ln(2) 06-04-13 à 18:05

Merci beaucoup pour cette réponse rapide! Je fais ça tout de suite.

Posté par
ravinator
re : Approximation de ln(2) 06-04-13 à 18:49

En relisant je vois que je n'ai pas été assez précis (c'est juste un détail, mais sinon c'est faux)

D'abord pour la 1)a), je n'ai pas justifié In positif (positivité de l'intégrale)

Et ensuite pour la majoration de l'erreur, il faut mettre des valeurs absolues :

|ln2 - \sum_{k=1}^n\frac{1}{k2^k}| = |I_n| = I_n \leqslant \frac{1}{2^n(n+1)} car In positive

Enfin peut être le calcul de 2)b) te posera problème, parce que l'on trouve ce qu'il faut mais à changement d'indice près..

Bref je te laisse potasser tout ça, moi je dois y aller

Bonne soirée

Posté par
alexandre058
re : Approximation de ln(2) 06-04-13 à 19:41

J'ai trouvé le 1) a) et le 2) b) grâce à tes informations :

1) a) In= 1/(1-t)t^n dt et pour que In soit inférieure ou égale à 2 t^n dt il faut donc que

1/(1-t)<= 2.  Soit f(t)= 1/(1-t) f'(t)=1/(1-t)²>0 donc f(t) est strictement croissante et donc sont maximum est f(1/2) ici qui vaut 2.

2) b) On a de 0 à 1/2 de 1/(1-t) = [-ln(1-t)] de 0 à 1/2 = ln(2) et l'intégrale de la suite vaut:

I(0,1/2)dt = 1/2
I(0,1/2)t dt = t²/2 = 1/(2*2²)
I(0,1/2) t² dt = 1/(3*2³)
.....
I(0,1/2)t^(n-1) dt = 1/(n*2^n)

Posté par
alexandre058
re : Approximation de ln(2) 06-04-13 à 19:42

Par contre pour le 2) c) je dois avouer que je ne vois toujours pas comment trouver la valeur approchée de ln(2) à 10^-4 près.

Posté par
ravinator
re : Approximation de ln(2) 07-04-13 à 11:23

Bonjour,
Le 1)a) est encore faux, tu n'as pas le droit de sortir le 1/1-t de l'intégrale.

En fait c'est assez simple finalement :

0 \leqslant t \leqslant \frac 12
 \\ \frac 12 \leqslant 1-t \leqslant 1 donc par passage à l'inverse

1 \leqslant \frac{1}{1-t} \leqslant 2 d'où le résultat

Après apparemment pour la somme c'est bon

Enfin pour la majoration de l'erreur, on a

|ln2 - \sum_{k=1}^n\frac{1}{k2^k}| = I_n \leqslant \frac{1}{2^n(n+1)}

Donc si on veut une approximation à 10^-4 près , il suffit de trouver n tel que

 \frac{1}{2^n(n+1)} \leqslant 10^{-4}

Plusieurs moyens sont possibles après, le plus simple reste la calculatrice ou le tableur, ou un petit algorithme

Posté par
alexandre058
re : Approximation de ln(2) 07-04-13 à 16:39

A d'accord merci beaucoup pour ton aide !!



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