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Approximation polynomiale de sqrt(1+x)
Bonjour, je bloque sur un exercice et j'aurais besoin d'aide.
Après avoir calculé la dérivée de degré 3 de la fonction f(x)=sqrt(1+x), je dois démontrer que pour x appartenant à [0;3], 3/8≥f'''(x)≥3/256.
Ça c'est bon
Mais après (c'est là où je bloque) il faut en déduire successivement que pour x appartenant à [0;3]
-(1/4)+(3/8)x ≥ f''(x) ≥ -(1/4)+(3/256)x
et 1+(x/2)-(x²/8)+((x^3)/16) ≥ f(x) ≥ 1+(x/2)-(x²/8)+((x^3)/512)
PS: f'(x)=1/(2sqrt(1+x))
f''(x)=-1/(4(x+1)sqrt(x+1))
f'''(x)=3/(8(x+1)2sqrt(x+1))
salut,
prenons par exemple -(1/4)+(3/8)x ≥ f''(x)
tu peux etudier le signe de g(x)=f''(x)-3/8*x+1/4 en derivant g
salut
sur la fonction
est croissante (et strictement positive)
est croissante et strictement positive
est croissante et strictement positive
leur produit est donc croissant et strictement positive
le triple de l'inverse de leur produit est donc décroissant (car la fonction est croissante)
l'encadrement de f'''(x) sur l'intervalle [0, 3] est donc élémentaire ...
@carpediem
"je dois démontrer que pour x appartenant à [0;3], 3/8≥f'''(x)≥3/256.
Ça c'est bon"
ce n'est donc pas là que se trouvait la difficulte 
oui bien sûr alb12 : j'avais vu !!
je me suis amusé à le montrer sans calcul ... et je suis curieux de savoir ce qu'a fait Francis0112
pour le reste tu avais donné la direction ... et je ne vois guère comment faire plus simple ...
plus simple peut etre pas mais plus rapide oui en integrant les membres des inegalites (si vu en classe ce qui n'est pas semble-t-il le cas ici)
J'aurais besoin d'aide sur cet exercice
1.Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I contenant 0 et telles que f'>=g' sur I
a.Calculer h(0) (c'est bon h(0)=0)
b.En étudiant le sens de variation de h, démontrer que :
si x>=0, alors f(x)-f(0)>=g(x)-g(0)
si x<=0, alors f(x)-f(0)<=g(x)-g(0)
J'ai justifié avec la convexité de f « mais je crois que ma justification est pas très rigoureuse.
On considère que f est la fonction définie sur ]-1;+inf[
f(x)=sqrt(1+x)
J'ai montré que 3/256<=f'''(x)<=3/8
si x appartient à [0;3]
La question suivante c'est celle que je n'y arrive pas:
En déduire successivement que si x appartient à [0;3]
-1/4 + 3/256<=f''(x)<=-1/4 + 3/8
1+x/2-x**2/8+x***3/512<=sqrt(1+x)<=1+x/2-x**2/8+x**3/16
Je sais pas trop comment faire peut être étudier les fonctions mais je crois plutôt qu'il faut utiliser la propriété démontrer si dessus la 1.b
*** message déplacé ***
comme un air de deja vu 
Approximation polynomiale de sqrt(1+x)
il faut rester dans la meme sujet si tu veux plus d'explications
*** message déplacé ***
Bonjour Francis0112,
le multi post n'est pas toléré sur l'
tu aurais dû rester dans ton premier message.
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