Bonjour à tous.
Je travaille sur la correction d'un exercice trouvé sur un site, et je voudrais m'assurer d'avoir bien compris les étapes de cette correction. Je vous remercie par avance de votre aide.
"Soient (I,f) et (I,g) deux arcs paramétrés réguliers paramétrés par abscisse curviligne. Démontrer que s'il existe un déplacement du plan φ tel que f=φ∘g, alors f et g ont la même fonction courbure".
"Puisque les paramétrages sont normaux, la courbure de (I,f) est donnée par det(f′,f′′) et celle de (I,g) par det(g′,g′′)"
On part de la détermination de la courbure dans le cas général, soit et comme le paramétrage est normal, on a ?
"Mais on sait que f=φ∘g=ag+b, avec a,b∈C, |a|=1"
Une déplacement est une (isométrie) application affine, translation, rotation plane et leurs composées, et on prend pour simplifier et utiliser le cas d'une translation ?
"En particulier, f′=ag′+b=φ∘g′ et f′′=φ∘g′′.
Ok.
"Mais, toujours parce que φ est un déplacement, det(φ∘f′,φ∘f′′)=det(f′,f′′). Ainsi, on a bien det(f′,f′′)=det(g′,g′′), et les deux courbures sont identiques."
On utilise la multilinéarité du déterminant?
N'aurait-on pas plutôt det(f′,f′′) = det(φ∘g′,φ∘g′′) = det(g′,g′′) ?
Merci pour votre aide.
Bonne journée.
Bonjour carpediem, et merci pour votre message.
Les justifications que je donne aux questions en gras sont les bonnes?
Je pense aussi que det(f′,f′′) = det(φ∘g′,φ∘g′′) = det(g′,g′′).
Cordialement.
pas application affine mais x --> ax + b avec |a| = 1
car si |a| <> 1 alors il n'y a plus isométrie (exemple les homothéties)
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