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trigonométrie en post-bac
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Niveau Licence Maths 1e ann
arc(sin(x) explication du procédé visant à obtenir arc(sin(x))=x
Posté par julie20092
Bonjour à tous,
Je souhaiterai comprendre le procédé qui permet que la fonction arc(sin(x) soit égal à x, en changent les intervals je croit, (avec pi/2), je ne suis pas très claire mais n'est pas très bien compris l'exercice, qui demande de simplifier cette fonction.
J'ai compris que pour l'égalité =x il faut qu'elle soit bijective et qu'elle ne l'est pas sur R, mais la bidouille demandé :s
Merci et bon courage pour vos exos,
Cordialement,
Julie
Effectivement, je corrige :
arcsin((sin(x)) = x et non arc(sin(x))=x
Je comprend que sur (-pi/2 ; pi/2) elle est bijective, et que donc l'égalité est vérifié, mais la "bidouille" pour la simplifier en changent les intervals, je vois pas trop.
Des pistes ?
Bonjour.
On sait que la restriction de la fonction sinus à l'ensemble E = [,
] définit une fonction continue strictement croissante prenant ses valeurs sur F = [-1,1]. Elle définit donc une bijection de E sur F. Sa fonction réciproque se note Arcsinus.
Arcsinus est donc définie sur F et les images appartiennent à E
Conclusion :
1°) u 
Arcsin(u) est définie ssi -1 
u 1
2°) v = Arcsin(u) 
u = sin(v),
v
Passons maintenant à ta question. Soit f définie par f(x) = Arcsin(sin(x))
¤ Comme, pour tout x dans IR, -1 sin(x) 1, la fonction f est définie sur IR
¤ f(x + 2
) = Arcsin(sin(x + 2)) = Arcsin(sin(x)) = f(x)
Donc, f est 2-périodique
¤ si x 
E = [,
], d'après les préliminaires, f(x) = x
¤ f( - x) = Arcsin(sin( - x)) = Arcsin(sin(x))
Cela signifie que la représentation graphique présente une symétrie par rapport à la droite (d) d'équation y =
On peut donc tracer f sur [,
] puis, dessiner la symétrie par rapport à (d). Cela donne un "chapeau d'angle" qui s'étale sur [
,
]. Ce dernier intevalle étant d'amplitude 2
, il suffit de recopier ce chapeau éternellement.
Merci raymond, c'est beaucoup plus clair pour moi, seulement :
-> Qu'elle soit de période 2pi entraine qu'elle se répétera à l'identique d'un interval de 2pi a un autre, les formules de trigo usuelles permettent d'utiliser sin (pi-x)=sin(x) mais pourquoi cela signifie que la courbe admet une symetrie par rapport à la droite y=pi/2 ?
C'est une formule classique que l'on voit en première : f(2a-x) = f(x) signifie symétrie par rapport à la droite y = a.
Je ne comprend pas ce qui est écrit !
Je croyais que y'=y était valable que pour exp(x)=y ?
Je cherche à comprendre pourquoi f(2a-x)=f(x) entraîne une symétrie par rapport à la droite y=a.
Je test alors sur le sinus, sinus(pi-x)=sin(x), je trace les deux courbes (y=sin(x) et y=pi/2) et je n'observe pas de symétrie avec la droite y=pi/2, donc il semble y avoir erreur sur l'application de "f(2a-x) = f(x) signifie symétrie par rapport à la droite y = a.", peut être une condition non donnée ?
J'ai mal écrit l'équation de (d), c'est x =
Prenons M(x,y) et M'(x',y') son symétrique par rapport à (d)
y = y' : quand tu effectues une symétrie par rapport à la droite (d), l'ordonnée ne change pas
Pour les abscisses, le milieu est sur (d), donc :
Cette dernière égalité s'écrit aussi x' = - x.
Si la représentation graphique de f présente une symétrie par rapport à (d), cela signifie que :
f(x) = f(x'), donc f(x) = f( - x)