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arctan

Posté par
st1fl3r 06-11-07 à 12:55

Bonjour à tous !

J'ai du mal à montrer des égalités avec la fonction arctan(x)...
tel que :

arctan1+arctan2+arctan3=

Pouvez vous m'aider svp
Merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : arctangente. 06-11-07 à 13:13

Bonjour st1fl3r ;

Sachant que \fbox{arctan(1)=\frac{\pi}{4}} , il te suffit de montrer que \blue\fbox{arctan(2)+arctan(3)=\frac{3\pi}{4}} ,
or \fbox{tan(arctan(2)+arctan(3))=\frac{2+3}{1-2\times3}=-1} et \fbox{(arctan(2)+arctan(3))\in[0,\pi]} (sauf erreur)

Posté par
st1fl3rre : arctan 06-11-07 à 13:39

euh je suis d'accord sur tout mais à ce stade c'est fini ?
parce que je ne vois pas pourquoi arctan2+arctan3=3pi/4

Posté par
gui_toure : arctan 06-11-07 à 13:42

Bonjour

C'est à toi de le montrer

Calcule \large \rm \tan(arctan(2)+arctan(3)) et \large \rm \tan(\fra{3\pi}{4}).

Et pour tout a,b dans [0,Pi], tan a = tan b <=> a=b

Désolé Elhor si j'ai dit une bêtise

Posté par
gui_toure : arctan 06-11-07 à 13:46

Et voui je crois m'être trompé.

\Large \rm \forall a,b \in [0,\pi]-{\fra{\pi}{2}}\;\;\tan (a) = \tan(b) \Leftrightarrow a=b

J'ai bon là, non ?

Posté par
st1fl3rre : arctan 06-11-07 à 13:53

ok c'est bon pour celui là merci ...

maintenant cela ce complique un peu ...

2arctan(1/2)+arccos(4/5)=pi/2

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : arctangente. 06-11-07 à 13:54

Cette fois c'est presque bon gui_tou la fonction tangente est injective sur [0,\pi[-\{\frac{\pi}{2}\} .

Posté par
st1fl3rre : arctan 06-11-07 à 13:57

.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : arctangente. 06-11-07 à 14:08

En posant \fbox{t=2arctan(\frac{1}{2})} tu as \fbox{t\in[0,\frac{\pi}{2}]\\tan(\frac{t}{2})=\frac{1}{2}} d'où \fbox{t\in[0,\frac{\pi}{2}]\\sin(t)=\frac{2\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4}{5}} donc \blue\fbox{t=arcsin(\frac{4}{5})}

Posté par
st1fl3rre : arctan 06-11-07 à 14:21

euh j'ai apris que sin(arctan(x))= x/[(1+x²) ]

je me demande donc où est passé la racine ?

Posté par
st1fl3rre : arctan 06-11-07 à 14:49

svp ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : arctangente. 06-11-07 à 14:53

Là on a plutôt sin(2arctan(x))

Posté par
st1fl3rre : arctan 06-11-07 à 15:02

c'est pour cela que l'on multiplie la fraction par 2 non ?

je ne connais pas de formule pour ce genre d'expression

Posté par
gui_toure : arctan 06-11-07 à 15:11

Ba essaie avec sin(a+b)=...

Posté par
gui_toure : arctan 06-11-07 à 15:13

Ou putôt, directement \large \fbox{\sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)


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