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Niveau maths sup
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Argument et angles de droites

Posté par
sgu35
11-05-20 à 23:13

Bonsoir,
je cherche des précisions sur une propriété de cours :
Soient D_1 et D_2 deux droites du plan, et \vec{u_1}, \vec{u_2} des vecteurs directeurs de D_1 et D_2.
Notons z_1, z_2 les affixes de \vec{u_1}, \vec{u_2} et \xi=\frac{z_2}{z_1}
Soit \theta_0 une mesure de l'angle orienté (\vec{u_1}, \vec{u_2}), de sorte que \theta_0 soit un argument de \xi
Si \xi est imaginaire pur, les droites D et D' sont orthogonales. Alors \theta_0 \equiv \pi/2\pmod \pi et donc (D,D') \equiv \pi/2 \pmod \pi.
Si \xi n'est pas imaginaire pur, alors pour tout \theta \in \R, \theta \ne \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in \Z, on a:
(\theta = \theta_0+k\pi, k\in \Z)\iff  \tan(\theta)=\tan(\theta_0)=\frac{\Im(\xi)}{\Re(\xi)}
On conclut que tout réel \theta tel que \tan(\theta)=\frac{\Im(\xi)}{\Re (\xi)} est une mesure de l'angle orienté de droites (D,D')
On peut choisir en particulier \theta=\arctan(\frac{\Im(\xi)}{\Re(\xi)}).
Mais ce réel n'est pas en général un argument de \xi.

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 11-05-20 à 23:16

Citation :
Mais ce réel n'est pas en général un argument de \xi.

Qu'entend-on par pas en général?
Est-ce que ça veut dire que le \theta_0 exprimé par \tan(\theta_0)=\frac{\Im(\xi)}{\Re(\xi)} est juste un argument parmi tant d'autres?

Posté par
mousse42
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 03:52

Salut

Non, tantôt c'est  l'argument de \xi, tantôt ça l'est pas.

Je te laisse regarder comment est construite la fonction arctangente

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 13:23

si \theta=\theta_0+\pi, alors \xi=re^{i\theta_0+\pi}=-re^{i\theta_0} et \theta_0 n'est pas un argument de \xi. Est-ce exact?

Posté par
mousse42
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 14:05

L'argument d'un complexe est modulo 2pi, et il est unique

Si \theta est l'argument de \xi et  \theta=\theta_0+\pi ,  comme \pi\ne 0 , on déduit que \theta_0 n'est pas l'argument de \xi

La bonne question est : "à partir de \theta_0 comment déduire \theta?"

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 14:12

Citation :
comme \pi\ne 0

il faut plutôt dire : comme \pi\ne 2k\pi, k \in \Z

Posté par
mousse42
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 14:20

Si tu précises que tu travailles avec des éléments de \R/2\pi \Z, tu n'es pas obligé de le repréciser s'il n'y a pas d'ambiguïté.

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 15:50

ok

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 15:53

Citation :
si \theta=\theta_0+\pi, alors \xi=re^{i\theta_0+\pi}=-re^{i\theta_0} et \theta_0 n'est pas un argument de \xi. Est-ce exact?

Est-ce que j'ai bien raisonné?

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 15:54

Citation :
si \theta=\theta_0+\pi, alors \xi=re^{i\theta_0+\pi}=-re^{i\theta_0} et \theta_0 n'est pas un argument de \xi. Est-ce exact?

Est-ce que j'ai bien raisonné?

Posté par
mousse42
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 16:39

pour moi, non !

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 16:46

Alors je ne vois pas.
La fonction arctan est défini sur \R et prend ses valeurs dans ]-\pi/2;\pi/2[
Si \theta n'est pas compris entre -\pi/2 et \pi/2, il ne s'agit pas d'un argument de z. Est-ce juste?

Posté par
mousse42
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 17:12

Oui c'est ça, dessine la fonction tangente, sa restriction sur -\pi/2 et \pi/2 et sa réciproque artangente. Ensuite essaie de voir comment tu peux déduire ce que je t'ai demandé plus haut sachant que  \tan \theta=\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}.

Pour la suite, je ne suis pas sûr de pouvoir poursuivre, j'ai un exam demain

@+ tu es sur la bonne voie

Posté par
mousse42
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 17:16

j'ajoute : faire une étude de cas en fonction des cadrans de ton cercle trigo.

Cas 1:  \theta \in [0,\pi/2]

Cas 2:  \theta \in [\pi/2, \pi]

....

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 18:28

Citation :
L'argument d'un complexe est modulo 2pi, et il est unique

Pour moi, un argument de z est défini modulo 2pi, donc on ne peut pas parler de l'argument de z.

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 18:47

Comment est défini  \R/2\pi \Z?

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 18:50

Si \theta \in ]\frac{\pi}{2};\pi], \theta=\arctan{x}+\pi

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 18:52

avec x=\tan{\theta}

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 19:00

Citation :
si \theta=\theta_0+\pi, alors \xi=re^{i\theta_0+\pi}=-re^{i\theta_0} et \theta_0 n'est pas un argument de \xi. Est-ce exact?

Je persiste à dire que j'ai raison...

Posté par
mousse42
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 19:10

oui, tu as raison

Si \theta\in \R, \theta est un argument de \xi

Si \theta \in \R/2\pi\Z, \theta est l'argument de  \xi

Sinon, oui je n'aurais pas dû appeler l'élément de \R/2\pi\Z \theta, mais plutôt \arg \xi pour éviter toute confusion.

Pour résumer:

Si \theta\in \R, \theta est un argument de \xi

On note l'argument de \xi, \arg \xi et on a \theta\in \arg \xi

Et on a pour w\in \R,  w\in \arg \xi \iff w\equiv \theta \mod{2\pi}

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 19:10

Citation :
La bonne question est : "à partir de \theta_0 comment déduire \theta?"

La fonction tangente est définie sur ]-\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2} donc les \theta sont définis modulo \pi, et en changeant \theta en \theta + \pi, on n'obtient pas le même complexe (on obtient des complexes opposés)

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 19:11

définie sur ]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[

Posté par
mousse42
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 19:11

sgu35 @ 12-05-2020 à 19:00

Citation :
si \theta=\theta_0+\pi, alors \xi=re^{i\theta_0+\pi}=-re^{i\theta_0} et \theta_0 n'est pas un argument de \xi. Est-ce exact?

Je persiste à dire que j'ai raison...


Mais elle est où ta conclusion, pourquoi \theta_0 n'est pas un argument de \xi

Posté par
mousse42
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 19:27

je te propose une preuve :

On suppose que \theta_0\in \R, un argument de  \xi

1=\dfrac{\xi}{\xi}=\dfrac{re^{i\theta}}{re^{i\theta_0}}=e^{i(\theta-\theta_0)}=e^{i\pi}=-1, on a une contradiction, par conséquent \theta_0\notin\arg\xi

Peux-tu me donner une autre preuve plus simple ?

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 19:33

Si \theta=\theta_0+\pi est un argument de \xi, on a :
\xi=re^{i\theta}=re^{i\theta_0+\pi}=-re^{i\theta_0}
or, un argument de re^{i\theta} est \theta seulement lorsque r>0, et \theta+\pi si r<0. donc \theta_0 n'est pas un argument de \xi

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 19:35

il faut lire au début :
avec \theta_0 un argument de \xi

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 19:48

Citation :
sachant que  \tan \theta=\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}.

Que faire avec le sinus et le cosinus?

Posté par
mousse42
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 19:51

r=|\xi| donc r est toujours positif

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 19:54

Citation :
On note l'argument de \xi, \arg \xi et on a \theta\in \arg \xi

C'est pas plutôt \arg\xi \in \theta\?

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 19:55

Citation :
r=|\xi| donc r est toujours positif

D'accord.
Donc -r<0

Posté par
mousse42
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 20:00

\arg\xi =\Big\{w\in \R, w\equiv \theta \mod{2\pi}\Big\}, c'est un sous-ensemble de \R, ou un élément de \R/2\pi\Z

Je dois te laisser, bonne soirée, si tu as d'autres questions une autre personne prendra le relais

Posté par
sgu35
re : Argument et angles de droites 12-05-20 à 20:20

et comment est défini \theta? Est-ce l'argument de \xi compris entre -pi et pi?



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