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Niveau Maths sup
arith
Posté par nassoufa_02
Bonsoir,
alors vu mes trous de mémoires j'ai encore pensé à vous mais cette fois ci c'est en arithmétique ..
j'avais déjà entamé une discussion avec Cauchy concernant vrai ou faux cette fois ci c'est dans le même esprit .. et en espèrant que vous m'aidiez ..
à votre avis:
1/ si les entier m et n vérifient la relation 8^m = 2 x 16^n . ils sont premiers entre eux ?
2/ les entiers relatifs x et y vérifiant 5x+y=8 sont de même parité?
(plus dur)
3/ Tout entier s'écrit de façon unique come somme de puissance positives de 2 ?
Je vous remercie !
pour le 3
j'ai trouvé .. je l'ai pas fini mais je pense que je suis sur la bonne voie et voici mon raisonnement !
décomposition en base 2
n = sigma ( k = 1 , ...,N) ak 2^k avec ak = 0 ou 1
c'est l'écriture en base 2 d 'un entier,
la preuve se fais par réccurence:
on suppose le résultat jusqu'a un entier n-1
et pour n il existe N tel que 2^N=< n < 2^(N+1)
donc 0=< n-2^N < 2^N =<n et on applique l hypothèse de la décomposition à l 'entier n-2^N
correct ?
Salut,
si 5x+y=8. Si x et y n'ont pas la meme parité la somme est impaire.
Si les entiers verifient 8^m=2*16^n alors 2^(3m)=2^(4n+1).
D'ou 3m=4n+1 donc...
OK !
Merci !
t'es daccord sur le fait que 3m = 4n+1 implique que m et n sont premiers entre eux .. puré je me rappele plus de tout ça, je me rappele pas comment on le montre je sais que c'est bête ..
C'est le theoreme de Bezout, x et y sont premiers entre ssi il existe u et v tels que:
xu+yv=1.
Donc ici c'est bon 3m-4n=1.
Ah ouiiiiiiiii Je vois ! Merci beaucoup (et que pense tu de mon raisonnement sur le décomposition en base de 2, tu peux infirmer ou confirmer stp?
Bonsoir !
Je ne comprend pas l'énoncé du 3)
en effet si on considère un entier impair il ne peux s'écrire comme somme de puissance de 2! sauf si on considère 20=1 et dans ce cas la réponse est triviale ...donc pas compris !
Salut Youpi,
Effectivement elle avait deja posé cette question et j'avais répondu la meme chose peut etre ici qu'on considere effectivement 2^0=1 mais il y a meme pas unicité je trouve cet énoncé douteux.
expliques-moi comment tu décomposes 7 en somme de puissance de 2 positives stp !
peut-être qu'après je comprendrais mieux!
Bonsoir
L'énoncé fait peut-être référence à la décomposition en base 2 d'un entier naturel non nul, non ?
Kaiser
Bonsoir Kaiser,
alors c'est kaiser qui a raison
(excuse moi Cauchy en fait j'avais oulblié que j'avais posé cette question en fait)
nassoufa_02>Bonsoir
En fait, je n'en sais rien, je suppose que c'est ça car comme le soulignent Youpi et Cauchy, la forme de la question peut être discutable.
Kaiser
Citation :
L'énoncé fait peut-être référence à la décomposition en base 2 d'un entier naturel non nul, non ?
L'énoncé fait peut-être référence à la décomposition en base 2 d'un entier naturel non nul, non ?
ceci dit si on va dans ce sens là tout entier s'écrit de façon unique comme somme de puissance positives de de n'importe quel nombre entier positif !
Bien sûr, on parlais bien de puissances entière ou alors je n'ai pas tout compris (cf l'heure 
:D)
Kaiser
Le problème que Cauchy soulève est que :
peut-on dire que et
sont deux décompositions "acceptables" ?
Dans ce cas, l'unicité tombe à l'eau.
Ce dont je parlais était la décomposition en base 2
ce dont parlais Youpi (enfin, je suppose) est que l'expression "puissances positives" ne veut pas nécessairement dire "puissances entières" (c'est bien ça Youpi ?)
Kaiser
C'est ça que t'appele décomposition en base 2 ?
n = sigma ( k = 1 , ...,N) ak 2^k avec ak = 0 ou 1
c'est l'écriture en base 2 d 'un entier,
la preuve se fais par réccurence:
on suppose le résultat jusqu'a un entier n-1
et pour n il existe N tel que 2^N=< n < 2^(N+1)
donc 0=< n-2^N < 2^N =<n et on applique l hypothèse de la décomposition à l 'entier n-2^N
correct ?
Bonsoir nassoufa_02
Citation :
C'est ça que t'appele décomposition en base 2 ?
n = sigma ( k = 1 , ...,N) ak 2^k avec ak = 0 ou 1
C'est ça que t'appele décomposition en base 2 ?
n = sigma ( k = 1 , ...,N) ak 2^k avec ak = 0 ou 1
c'est ça !
En ce qui concerne ta récurrence, tu peux faire comme ça encore qu'il faudrait un peu justifier l'existence de l'entier n mais si ça parait évident. Tu peux aussi faire fonctionner la récurrence en effectuant la division euclidienne de n par 2 (on pourra appliquer l'hypothèse de récurrence au quotient obtenu).
Kaiser