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Niveau Maths sup
Arithmétique
Posté par Al-khwarizmi
Bonsoir à tous,
il y a un petit exercice sur lequel je bloque... Je ne trouve pas la solution pourtant j'ai bien cherché. Le voici:
Montrer que 
n 
: 3n+1 et 7n+2 sont premiers entre eux.
J'ai essayé par l'absurde, le théorème de Bezout, montrer que leur PGCD vaut 1 mais rien n'y fait, je donne ma langue au chat!
Pourriez-vous m'aider?
Merci d'avance à tous.
Al Khwarizmi.
Bonsoir Al-khwarizmi
Soit d un diviseur commun à cse deux entiers.
En utilisant alors que d divise tout entier qui est somme d'un multiple de l'un et d'un multiple de l'autre, essaie de trouver un entier indépendant de n que d divise.
Je ne sais pas si j'ai été clair.
Kaiser
Quelle propiété ou théorème utilises-tu Cauchy, là...? Et où veux tu en venir...?
Merci pour votre aide...
Si d est un diviseur de 3n+1 et 7n+2 il divise en particulier -3*(7n+2) et 7*(3n+1) donc il divise leur somme qui est egale à 1.
Tu peux aussi dire -3*(7n+2)+7*(3n+1)=1 donc 7n+2 et 3n+1 sont premiers entre eux d'apres le theoreme de Bezout.
c'était aussi simple que ça...
Bien vu, mais comment as-tu pensé avoir à les multiplier par -3 et 7 pour obtenir l'dentité de Bezout? Si ça avait été des valeurs plus difficiles a trouver, comment aurais - tu procédé?
Posté par jmaths (invité)re : Arithmétique
Comme tu veux supprimer les n, -3 et 7 sont des bons coeff pour la combinaison linéaire.
ok merci, mais là j'essaie de résoudre ceci :
(7n+2).u + (3n+1).v = 1
en utilisant l'algorithme d'Euclide pour trouver les valeurs de u et v. Mais je pense pas que c'est possible...
Tu as deja la solution particuliere (-3,7) donc si un couple (u,v) verifie la relation alors on a:
(7n+2).u + (3n+1).v +(7n+2).3-(3n+1).7=0 soit (7n+2)(u+3)=(3n+1)(7-v) (*)
7n+2 divise (3n+1)(7-v) et est premier avec 3n+1 donc d'apres Gauss divise 7-v cad:
7-v=(7n+2)k soit v=-(7n+2)k+7 en remplacant dans (*) tu trouves u.
(7n+2)(u+3)=(3n+1)(7n+2)k donc u+3=k(3n+1) soit u=k(3n+1)-3.
Pour k=0 tu retrouves la solution (-3,7), par exemple pour k=1 tu as u=-3+3n+1=-2+3n et v=-7n+5 je te laisse verifier que c'est bien solution.
c'est bien ça Cauchy, t'es vraiment trop fort!
Merci à vous tous,
Bonne soirée ou... Bonne nuit!
Amicalement,
Al Khwarizmi