tu peux redonner un énoncé compréhensible stp ?

excusez moi j'ai oublié un détail important
Soit p un nombre premier
Montrer que :
Si p congru à 1 (modulo 4) => l'equation x²=-1 admet deux racines dans Z/pZ.
désolé encore

Z/pZ se lit comment stp ?
je comprends pas l'énoncé la sérieux >_<

Z/pZ se lit Z (l'ensemble des entiers relatifs) sur pZ
c'est l'ensemble des classes de congruences modulo p.
Je te transforme alors la question, en espérant que tu comprendras :
Soit p un nombre premier
montrer que:
si p congru 1 (modulo 4) => il existe deux entiers, qu'on peut noter x, tel que x² congru -1 (modulo 4)
Voilà, c'est plus clair ?
NB : il suffit de montrer qu'il existe une seule solution, parceque si x est solution p-x l'est aussi...
Donc le problème se réduit à démontrer l'existence rien que d'une seule racine !!

d'accord c'est le modulo qui passait pas
mais je ne peux pas t'aider

Bonjour,

utilises Wilson pour montrer que ((p-1)/2)!) est solution.

Bonjour

Même sans Wilson que karim ne connait peut-être pas.
L'ensemble (Z/pZ)^* est un groups multiplicatif ayant p-1 éléments. S'il existe x tel que x²=-1, alors x est d'ordre 4, donc 4 divise p-1, d'où p est congru à 1 modulo 4.

Pour la réciproque: si tu sais que le groupe multiplicatif d'un corps est cyclique, il est immédiat qu'il existe un élément d'ordre 4 et comme le seul élément d'ordre 2 est -1, on a le résultat.

Sinon: soit f définie sur (Z/pZ)^* dans lui même par f(x)=x² C'est un endomorphisme du groupe multiplicatif (Z/pZ)^* dont le noyau a deux éléments 1 et -1 et donc l'image a (p-1)/2 éléments. Si p est congru à 1, modulo 4, p-1=4k et l'image a 2k éléments qui vérifient y^2k=1. Les éléments de l'image sont donc exactement les 2k racines du polynôme Y^2k-1=0. Comme -1 vérifie cette équation, -1 est dans l'image!