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arithmétique
Posté par nisha
coucou tout le monde!! je suis face à un problème, et je bute un peu sur le raisonnement.
soient a,b
* premiers entre eux. on cherche à savoir si un entier n peut s'écrire sous la forme au+bv, u et v entiers positifs.
1- si on n'impose pas à u et v d'etre postifs, quels sont les n qui peuvent s'écrire sous la forme au+bv ?
2-montrer que pour tout n
, il existe un unique couple (u0,v0)2 tel que n=u0a + v0b , 0
u0<b
3-montrer que pour n>ab-a-b, il existe u et v positifs tels que n=au +bv
(écrire n=ab-a-b-t avec t<0 et appliquer 2- à t.)
4-soit m un entier et soit (u0,v0) *. m=u0a + v0b , 0u0<b
montrer qu'il existe k
0 tel que
u=u0+ ak
v=v0-kb
en déduire qu'il existe des entiers positifs u et v tels que m=au+bv si et seulement si v00.
5-soient m et n entiers relatifs tels que m+n=ab-a-b
on écrit m=u0a + v0b et n=u'0a + v'0b
0u0,u'0<b
montrer que v0+v'0=-1 et en déduire que parmi m et n, un et un seul peut s'écrire sous la forme au+bv avec u et v positifs ou nuls.
(écrire ab=a(u0+u'0+1) + b(v0+v'0+1) et appliquer le lemme de Gauss.)
6-montrer que ab-a-b ne peut s'écrire sous la forme au+bv ave u et v positifs ou nuls.
voilà, merci d'avance
Pour la 1, tous!
a et b son premiers entre eux, donc (Bezout) il existe u et v dans Z tq au+bv = 1
Il n'y a plus qu'a multiplier par n.
Bonjour
Pour commencer:
1. Il s'agit des multiples de d=pgcd(a,b). (C'est une conséquance du théorème de Bézout)
2. Pour n fixé et n=au+bv, commence par faire la division euclidienne de u par b et de a par v.
Désolée, je n'ai pas vu qu'ils sont premiers entre eux. néanmoins ma réponse est juste puisque dasn ce cas d=1!
pour la 1ère question, j'ai déjà un souci.
je traduis les hypothèses:
a
b=1 donc 
x,y tel que ax+by=1
donc : a(nx)+b(ny)=n
ensuite je bloque. je ne sais pas si de là, on peut déduire que tous les n cherchés sont en fait
ah ok, merci pour la réponse! je voulais dire en effet que tous les nombres étaient solutions, mais ça me semblait un peu improbable
pour la 2, je vois pas trop où tu veux en venir Camélia. j'avais pensé raisonner par l'absurde. supposer qu'il existe deux couples d'entiers qui vérifient cette relation, et déduire par unicité de la décomposition en facteurs premiers que les deux couples sont égaux.
mais je suis pas trop sûre non plus de ma réponse