Niveau autre

arithmétique

Posté par galamo (invité) 25-09-05 à 22:03

n est un entier naturel non nul , la décomposition de n en produit de facteur
premier est : A(puissance alpha)*B(puissance béta )*C(puissance gamma)
Démontrer que la somme des diviseurs de n est
S = [1+A+A²+..+A(puissance alpha)]*[1+B+B²+..+B(puissance béta)]*[1+C+C²+...+C(puissance gamma)].
on dit que n est parfait si S=2n .
Démontrer que si 2(puissance n )-1 est premier alors
2( puissance n-1)*[2(puissnce n)-1] est parfait.

*** message déplacé ***

Posté par N_comme_Nul (invité)re : arithmétique 25-09-05 à 22:34

Salut !

Une fois j'avais fait un exercice similaire. Pour le "prouver", je suis passé par le cas où $n=A^\alpha$ puis $n=A^\alpha B^\beta$ etc.

Les diviseurs de $A^\alpha B^\beta C^\gamma$ sont les $A^xB^yC^z$ où
     $0\leq x,y,z\leq\alpha,\beta,\gamma$ (je sais pas très rigoureux ...)

Pour le premier cas où $n=A^\alpha$ , la somme $\Sigma_1$ des diviseurs est $\Sigma_1=1+A+\cdots+A^\alpha$ .

Pour le deuxième cas où $n=A^\alpha B^\beta$ , la somme $\Sigma_2$ des diviseurs est
$\Sigma_2=\underbrace{(1+B+B^2+\cdots+B^\beta)}_{X=0}+\underbrace{A(1+B+\cdots+B^\beta)}_{{}X=1}+\cdots$
soit $\Sigma_2=(1+A+\cdots+A^\alpha)(1+B+B^2+\cdots+B^\beta)$

Pour la somme $\Sigma_3$ des diviseurs de $A^\alpha B^\beta C^\gamma$ , on fait successivement
     $x=0$ et $y=0$
     $x=0$ et $y=1$
    ...
     $x=0$ et $y=\beta$

     $x=1$ et $y=0$
     $x=1$ et $y=1$
    ...
     $x=1$ et $y=\beta$

    (...)

     $x=\alpha$ et $y=0$
     $x=\alpha$ et $y=1$
    ...
     $x=\alpha$ et $y=\beta$

Soit le $\Sigma_3$ voulu.
Si quelqu'âme a une façon "rigoureuse" de prouver la chose ...

Posté par re : arithmétique 25-09-05 à 23:31

tout diviseur de n est de la forme A^iB^jC^k avec i compris entre 0 et alpha, j compris entre 0 et béta et k compris entre 0 et gamma. Quand on fait la sommation sur les trois indices on obtient la formule de l'énoncé...
Or 1+A+...+A^a=(A^(a+1)-1)/(A-1)
pour A=2 1+2+...+2^a=2^(a+1)-1
et si pour B=2^n-1 premier b=1 le facteur se réduit à 1+B=2^n
donc pour m=2^(n-1)*(2^n-1), S=(2^n-1)*2^n=2m donc m est parfait

Posté par galamo (invité)remerciement à N_comme_Nul et Piepalm 01-10-05 à 19:56

Bonsoir les gars
Tout simplement pour vous remercier du temps que vous
avez consacré pour la résolution de mon exercice
En effet vos résolutions m'ont aider à mieux finaliser
l'exercice proposée;
Salutation distinguées.

Posté par galamo (invité)remerciement à N_comme_Nul et Piepalm 01-10-05 à 19:57

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

arithmétique en post-bac
2 fiches de mathématiques sur "arithmétique" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

arithmétique

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths