Je n'y ai pas réfléchi mais j'essaierais Bezout.

Sans Bezout :

Soit d un diviseur commun de ab et a+b.

d divise ab donc divise a ou d divise b puisque a et b sont 1ers entre eux

Si d divise a, comme d divise a+b alors d divise b, donc d divise a et b donc d=1.

De même si d divise b.

heu, bon, un gars est passé aujourd'hui au tableau avec une démonstration similaire, et le prof l'a démoli

"d divise ab donc divise a ou d divise b puisque a et b sont 1ers entre eux"

c'est faux, imagine 6*4=24, si d=12, d divise 24, mais pas 6 et 4

bon sinon, j'ai quelques petites questions supplémentaires
comment prouver que le PGCD d'un naturel et de son suivant est égal à 1?(cet exo se présente sous la forme de la suite de Fibonacci mais je raccourcis l'énoncé)

et aussi, comment montrer que n²(n²-1)(n⁴-16) est congru à 0 mod 360(j'ai surtout besoin d'un point de départ)

merci d'avance

Bonjour,

Sauf que 6 et 4 ne sont pas premiers entre eux..... Si on prend 3*4=12; alors tout diviseur de 12 divise bien 3 ou 4. La démo de stokastik est tout à fait exacte.

Pour la seconde question, c'est la même chose. Si d divise a et a+1; alors d divise 1; donc d=1.

pour montrer que le PGCD d'un naturel et de son suivant est égal à 1 :
soient n et n+1 deux entiers naturels consécutifs
soit d le PGCD de n et n+1
d divise n
come d divise n+1 il divise 1 également donc d=1

oups !!! j'avais pas vu que sanders avait répondu .....dsl

heu, mince, bah je sais pas, mon prof a dit que c'éait totalement faux^^

Ceci est juste :

"On suppose PGCD(a,b)=1 c-à-d a et bpremiers entre eux.

Soit d un diviseur commun de ab et a+b.

d divise ab donc divise a ou d divise b puisque a et b sont 1ers entre eux

Si d divise a, comme d divise a+b alors d divise b, donc d divise a et b donc d=1.

De même si d divise b."

Pour n²(n²-1)(n4-16) est congru à 0 mod 360. Je pense qu'il faut dabord décomposer 360; soit 360=2^3*3^2*5. Et montrer ensuite que tout nombre x compris entre 0 et 8 est tel que x^2 ou x^2-1 ou x^4-16 est congru 0 modulo 8; congru 0 modulo 9 et congro 0 modulo 5. Ainsi x^2(x^2-1)(x^4-16) est congru 0 modulo 8 et 9 et 5 soit congru 0 modulo 360.
C'est juste ce que j'écris ?

Petite correction :
Pour n²(n²-1)(n4-16) est congru à 0 mod 360. Je pense qu'il faut dabord décomposer 360; soit 360=2^3*3^2*5. Et montrer ensuite que tout nombre x compris entre 0 et 8 est tel que x^2 ou x^2-1 ou x^4-16 est congru 0 modulo 8; congru 0 modulo 9 OU congro 0 modulo 5. Ainsi x^2(x^2-1)(x^4-16) est congru 0 modulo 8 et 9 et 5 soit congru 0 modulo 360.

Re-Petite correction (errue de et au lieu des ou...)
Pour n²(n²-1)(n4-16) est congru à 0 mod 360. Je pense qu'il faut dabord décomposer 360; soit 360=2^3*3^2*5. Et montrer ensuite que tout nombre x compris entre 0 et 8 est tel que x^2 ou x^2-1 ou x^4-16 est congru 0 modulo 8; congru 0 modulo 9 OU congro 0 modulo 5. Ainsi x^2(x^2-1)(x^4-16) est congru 0 modulo 8 ou 9 ou 5 soit congru 0 modulo 360.

bon, il faudra que j'aille parler a mon prof alors, ca me semble étrange

merci bcp, je viens de voir cette réponse

ah, erreur ds mon énoncé des entiers naturels!
en fait il faut montrer que pgcd (Fn, Fn+1)=1 avec Fn suite de Fibonacci, telle ue F0=0n F1=1 et pour tt n de N, Fn+2 = Fn+1 + Fn

la démo de stokastik n'est pas corecte, mais ton contre-exemple n'est pas bon :
voici un contre -exemple :

6  divise  9 x 8 qui sont premiers entre eux et pourtant 6  ne divise ni 9 ni 8 .

Si tu prends  d premier là oui ça marche !

lolo

n²(n²-1)(n4-16) = n²(n+1)(n-1)(n²-4)(n²+4)

(d'après l'identité remqarquable différence de carrés) soit encore :

= n²(n+1)(n-1)(n-2)(n+2)(n²+4) ;

tu remarques que dans ce facteur tu as (n-2),
n-1,n,n+1,n+2  donc  5 entiers consécutifs !
Dans 5 entiers consécutifs un d'eux (et un seul) est divisible par 5 , et au mmoins un est divisible par 3, de plus un est divisible par 4 et un autre au moins est pair

donc (comme  3,8,5 sont premiers entre eux) tu as
ton nombre divisible par 3.8.5 = 120 .
Greee...il manque un 3 encore pour arriver à 360 donc il suffit de prouver que ton nombre est divisible par 9 là fais comme les autres suggèrent !

lolo

Fibonacci : par récurrence !

merci bcp

Exact lolo217.
En fait, si d divise a+b, alors soit d ne divise ni a ni b, soit d=1 puisque a, b premiers entre eux. Donc d ne divise pas ab ou d =1.

Je dois montrer que PGCD(a, b)=1 => PGCD((a+b), ab)=1  :

je confirme que la demonstration de stokastik  n'est pas correcte.

si tu a a et b premier entre eux et c|ab tu ne peut pas en conclure que c|a ou c|b, a moin d'avoir des information suplaimentaire sur la primalité de a , b ou c : le th de gaus c'est si a|bc et a et b premier entre eux alors a|c


cependant: si tu pose d, un diviseur premier commun a a+b et ab

la tu peut dire(d'apres th de gausse)  d|ab donc d|a ou d|b, (car d est premier donc premier avec a et avec b)

si d|a comme d|a+b on a d|b

donc d|pgcd(a,b)


d=1 qui n'est pas premier.

de meme si d|b.

donc pgcd(a+b,ab) na pas de diviseur premier, il vaut donc neccesairement 1.

exacte encore plus simple ^^

pour la divisibilité par  9 , je termine :
(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)  est en facteur donc le seul cas où dans ces 5 entiers consécutifs tu n'as pas deux multiples de 3 c'est quand  celui du milieu "n" est divisible par 3 (les multiples de 3 arrivent tous les 3 entiers) MAIS si  n  est divisible par 3, comme tu as un  n.n = n^2  dans ton expression ton nombre est bien divisible par 9 !
Voilà ça fait un gain de temps apréciable d'ailleurs ton nombre est multiple de 360(n^2+4)
car le 'n^2+4) n'a jamais servi dans la preuve,
autant prouver plus que ce qui est demandé.

lolo

Le plus simple est d'utiliser Bezout



De la même façon



En multipliant (1) par (2) , on obtient




Donc

en fait on pourrait demander ; trouver le pgcd des entiers  n²(n²-1)(n4-16)  quand  n  parcourt Z.

lolo

je rentre juste de cours, on a corrigé ca, le prof a expliqué d'une maniere analogue, j'ai tout compris
merci bcp pour l'aide, j'attaque les exos de demain

pendant que j'y suis, j'ai quelques exos concernant PPCM et PGCD, les 1ers sont tres simples, mais un me gêne un peu
je dois trouver a et b sachant que PPCM(a b) - 16PGCD(a b) = 1991
ca doit pas être tres compliqué mais si vous savez, donnez moi une ptite piste

PPCM(a b) - 16PGCD(a b) = 1991

on pose p =pgcd(a,b)
m=ppcm(a,b)

on a:
pm = ab
et p|m
on pose m=kp

m-16p=1991

p|m donc p|1991

1991 = 11*181


donc p appartien a {1,11,181,1991}


apres faut traiter les 4 cas : 1er cas :
p=1 donc m=2007.
2007=9*223
ab=2007

soit a=223 b=9 soit a=669 b=3 (exclu car b|a) soit a=2007 b=1
(on verifie et sa marche)

soit 2 solution : (223,9) et (2007,1)

2e cas
p=11 donc m=2167=11*197

une seule possibilité : a=2167 et b=11

3e cas
p=181
etc...

tks a lot
moi j'étais parti sur ppcm=da'b'  (d pgcd, a' et b' tels que pgcd(a' b')=1 et a'd=a et b'd=b)
puis
d(a'b'-16)=1991
et je cherche les diviseurs de 1991
etc, ca doit revenir au meme

et c'est peut-etre meme plus simple comme methode, j'avais un peu oublié cette methode...


bon pour moi l'arithmetique sa remonte a decembre en terminal alors...

du moment que la réponse est la a la fin, la méthode m'importe peu