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Niveau Maths sup
Arithmetique
Posté par dark_supar (invité)
Je n arrive pas a denombrer dans les cas ci dessous.Merci d'avance pour votre aide.
A) Nombre de derangements
n et p 
2, on note D (n,p) le nombre de bijections d'un ensemble E ayant n elements dans lui meme qui laisent exactement p elements invariants.
On pose par convention; D(0,0) = 1 , par definition D(n,p) =0 pour p>n.
1) Quel est le nombre de bijections tels que l'ensemble des elements invariants soit un sous ensemble Ep de E donné et ayant p elements.
2)En deduire la formule
p
D(n,p) = C D (n-p,0)
n
3) justifier la formule suivante opour tout n entier naturel:
n p
n! = 
C D(p,0)
n
B) Nombre de surjections
n et p 
2, on note S(n,p) le nombre de surjections de E dans F lorsque E et F ont respactivement n et p elements.
Premiere methode.
On suppose ici sue E est l'ensemble des n premeiers entires non nuls et que F est l'ensemble des p premiers entiers non nuls. Soit 
l'ensemble des applications de E dans F.Pour i compris entre 1 et p , on designe par Ai le sous ensemble de constitue des applications f telles que i ne soit pas un element de f(e).
Que represente le cardinal du complementaire de ;
p
Ai ?
i=1
deuxieme methode.
1) On suppose 2
n et 2p.Demontrer la formule :
S(n,p) = p [S(n-1,p-1) + S(n-1,p)]
2) Verifier que cette formule est vraie pour tous n et p non nuls.
3) En deduire le tablaeu des S(n,p) lorsque n et p sont inferieurs ou egaux a 5.
Encore merci a ceux qui pourront m aider.
A/
1)
Si tu fixes le sous-ensemble des éléments invariants par une bijection
donnée, cela signifie que le complémentaire de
ne contient que des éléments qui ne sont pas fixes par
.
La co-restriction de à
est une bijection sur un ensemble de Cardinal
ne laissant aucun élément invariant.
Pour résumer, il existe autant de bijections sur
laissant un sous-ensemble
de cardinal
fixé invariant que de bijections sur
ne laissant aucun élément invariant c'est-à-dire par définition
(car
).
Comme on a façons distinctes de choisir
de cardinal
A/
3)
Une bijection quelconque sur E laisse p éléments invariants (p variant entre 0 et n).
En sommant les D(n,p) (p variant entre 0 et n), on retrouve le cardinal de l'ensemble des bijections sur E c'est-à-dire
B/
1)
Cela représente (oh surprise!) S(n,p)
En effet, si une application appartient à
, cela signifie qu'elle n'appartient à aucun des
c'est-à-dire que chaique i de F appartient à
ou encore que
est surjective.
B/
2)
Considère
une application
de E vers F surjective.
l'élément n de
.
l'image de
dans
.
étant bijective, le sous-ensemble
constitués par les éléments
de E tels que
est un sous ensemble non vide (car
).
De deux choses l'une
soit
n'est pas un singleton
soit
est le singleton
.
Dans le premier cas, si on considère la restriction
de
à
,
est aussi une surjective car
a un antécédent dans cet ensemble (las autres éléments de F ne sont pas affectés).
est une surjection d'un ensemble de cardinal
vers un ensemble de cardinal
(il en existe
).
Pour un , on a
façons de choisir l'image de
ppour passer de
à
(les p éléments de F).
Dans le second cas, la restriction
de
à
n'est plus une surjection de
vers
(l'élément
n'a pas d'antécédent par
) mais l'application
de
vers
est à nouveau un surjection.
Il existe de type "
" et p façons de choisir l'élément
que l'on supprime.
Pour conclure quand on mélange le tout on arrive bien à la relation