Bonjour Redman

Tout d'abord, avant te de donner ma réponse, je voulais te demander quelque chose. As-tu vu dans ton cours l'anneau /p ? Dans ce cas, le résultat est immédiat.

Kaiser

Attention aux notations et aux définitions! x^2, x^3.... sont ils des entiers ou des classes modulo p?
Si ce sont des classes, puisqu'il y en a que p, elles sont évidemment en nombre fini et leur nombre est inférieur ou bégal à p; si ce sont des entiers c'est faux!

oui j'ai la notion de l'anneau Z/pZ
et oui les nombres x² ... sont des classes de module p

Et comment trouver k tel que x^k = 1 ou k serait le plus petit possible?

Le fait que l'ensemble est fini est évident, car l'ensemble des {x^i} est inclus dans Z/pZ qui est un ensemble fini !!!

Et si tu as déja etudié les anneaux tu dois sûrement connaître le théorème de Lagrange pour les groupes (qui dit, en version simplifiée, que l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe).

concretement?

Ah apparemment t'as pas vu trop de choses sur les groupes...

à propos, le résultat de cet exercice s'appelle le petit théorème de Fermat...

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9monstrations_du_petit_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat

pour trouver le plus petit  k  tel que  x^k =1, ça dépend si  p  est premier ou pas.

en fait  si  p  n'est pas premier  il se peut que  k  n'existe pas  (ça dépend comment est  x). Je vais donc supposer p premier : dans ce cas  k  existe pour chaque  x non nul, fixé tout ce qu'on peut dire c'est que  k  divise  p-1 = cardinal de  (Z/pZ)* .

exercice: montre que  x^p = x  par récurrence sur  x  en prouvant que  p  divise C(k,p)=coeff du binôme quand  0<k<p.
D'où si  x non divisible par  p (on "simplifie"): x^(p-1)=1

lolo

Ah oui dans ma réponse je supposais p premier (dsl, j'ai oublié de le préciser)

L'exercice je l'avais deja fait..

Et la conclusion de l'exo est x^(p-1) = 1 est cela qui nous amene a dire que k divise p-1?
Et comment conclure? comment trouver le fameux k diviseur de p-1?

Oui, mais si on ne connait pas  x  on ne peut pas trouver exactement le plus petit  k !

Regarde D= {a entier >0/  x^a = 1 }  cet ensemble possède un plus petit élément  r , montre alors que  D = {rn /  n  entier}  d'où
p-1 = rn  et donc  r divise  p-1.

lolo