Annuler
connectez vous
arithmétique en post-bac
- Arithmétique dans Z - supérieur
- Exercice : le petit théorème de Fermat
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Ensemble et application Partie II
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre ArithmétiqueTopics traitant de arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
arithmétique
Posté par thetoto (invité)
bonjour a tous,
j'ai du mal avec un exercice d'arithmétique, dont voici l'énoncer:
Prouver que tout nombre premier autre que 2 et 3 est de la forme 6n-1 ou 6n+1.
Montrer que si p premier est suffisamment grand, p²-1 est divisible par 24.
Que veut dire "suffisemment grand"?
merci par avance...
Bonsoir
Un nombre premiet ne peut pas être de la forme 6n car il serait divisible par 6;
il ne peut pas non plus être de la forme 6n+2, 6n+3 et 6n+4 car il serait alors divisible par 2 ou 3
Il est donc forcément sous la forme 6n+1 ou 6n+5, cette dernière forme pouvant encore s'écrire 6k-1
Bonjour thetoto
Pour la première question, il suffit de remarquer qu'un entier premier supérieur ou égal à 5 est impair (donc congru à 1 modulo 2) et qu'il n'est pas divisible par 3 (donc congru à 1 ou -1 modulo 3).
Kaiser
Salut thetoto ...
Soit p un nombre premier >=5
alors nécéssairement
p
1 mod(2)-1 mod(2) et[ p1 mod(3) ou p2 mod(3)-1 mod(3)]
Donc
2 divise p-1 et 3 divise p-1 ou 2 divise p+1 et 3 divise p+1
Puisque 2 et 3 sont premiers entre eux :
6 divise p-1 ou 6 divise p+1 cqfd ...