Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre ArithmétiqueTopics traitant de arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Arithmetique

Posté par
Cauchy 02-05-06 à 22:15

Bonjour un petit exo d'arithmetique

J'ai pas de solution pour l'instant esperons que ca vous inspire.

Soient a et b  deux entiers strictement positifs.

Montrer que, si \frac{a^2+b^2}{ab+1} est entier, c'est un carré.

Posté par sanders (invité)re : Arithmetique 03-05-06 à 10:07

Bonjour,

Peut-être en posant a^2+b^2=k(ab+1) alors le discriminant de l'équation en a doit lui-meme être un carré, soit D^2, on a donc D^2=k^2-4b^2+4.... je ne sais pas si ça marche, juste une piste....

Posté par
Cauchyre : Arithmetique 03-05-06 à 13:34

Bonjour j'y ai pense j'ai commence comme ca mais ca n'as pas abouti pour l'instant je dois aller en cours je continuerais plus tard.

En fait en fixant a et en etudiant l'equation en b je trouve que le discriminant est un carre si k=a² mais il y a d'autres cas. Il faut montrer que a²k²-4(a²-k) est un carre.

Posté par
Cauchyre : Arithmetique 07-05-06 à 22:28

Up!!!

Posté par
Cauchyre : Arithmetique 22-05-06 à 18:28

Je remonte mon exo tombe aux oubliettes.

Posté par sambgoree (invité)re : Arithmetique 22-05-06 à 19:36

Bonjour Cauchy j'ai éssayé comme suit...., supposons que ton rapport ci-dessus est un entier k, on a :    a^2+b^2=k(ab+1) \\ <=> a^2+b^2-kab=k=(a^2+b^2)/(ab+1) \\ alors (ab+1)(1-kab/(a^2+b^2))=1 donc forcément "ab=0" <=> a=0 ou b=0.

Posté par
kaiser Moderateurre : Arithmetique 22-05-06 à 19:42

Bonjour à tous

sambgoree> le "forcément" me gêne un peu ! D'ailleurs, c'est faux !
En effet, si a=b=1, ça marche !

Kaiser

Posté par sambgoree (invité)re : Arithmetique 22-05-06 à 19:46

Alors a^2=k ou b^2=k,..je ne sais pas maintenant si je viens de trouver une solution de l'équation oubien c'est l'unique?...aide!!...merci.

Posté par sambgoree (invité)re : Arithmetique 22-05-06 à 19:49

c'est vrai Kaiser,merci!

Posté par
kaiser Moderateurre : Arithmetique 22-05-06 à 19:53

Mais je t'en prie !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Arithmetique 25-05-06 à 01:11

Bonsoir;
Posons \fbox{k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}} et supposons que \fbox{\fbox{k\ge2}} (vu que 1 est déjà carré parfait)
En remarquant que a est solution de l'équation du segond degré \fbox{(E_b){:}x^2-kbx+b^2-k=0} on voit que l'ensemble \fbox{A=\{n\in\mathbb{N}\hspace{5}/\hspace{5}(E_n)\hspace{5}admet\hspace{5}au\hspace{5}moins\hspace{5}une\hspace{5}solution\hspace{5}dans\hspace{5}\mathbb{N}\}} est non vide soit alors \blue\fbox{m=min A}
m est le plus petit entier naturel tel que l'équation \fbox{(E_m){:}x^2-mkx+m^2-k=0} admet au moins une solution \fbox{p\in\mathbb{N}}
en remarquant que m est une solution de l'équation (E_p) on voit que p\in A et donc que \fbox{m\le p}
considérons maintenant le trinôme \fbox{f(x)=x^2-mkx+m^2-k} il est clair \fbox{f(p)=f(mk-p)=0}
en remarquant que \fbox{f(m)=(1+m^2)(\frac{2m^2}{1+m^2}-k)<0} puisque \fbox{\frac{2m^2}{1+m^2}<2\le k} on voit que \fbox{mk-p<m<p}
et comme m est solution de l'équation (E_{mk-p}) on voit que \fbox{mk-p<0}
c'est à dire que \fbox{mk+1\le p} et donc que \fbox{f(mk+1)\le0}
en développant on trouve \fbox{f(mk+1)=m^2+1+(m-1)k\le0} ce qui donne \red\fbox{m=0}
et ainsi l'équation \fbox{x^2-k=0} admet au moins une solution dans \mathbb{N} ce qui veut dire que k est carré parfait. CGFD

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Arithmetique 26-05-06 à 13:41

Ceci fait je trouve que c'est un bon exercice d'arithmétique

Posté par
Cauchyre : Arithmetique 26-05-06 à 21:09

Bravo joli comme demo faut y penser d'introduire A. Bon exercice mais pas simple sans indication.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !