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Niveau Maths sup
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Arithmétique

Posté par
NapoleonDuRoy
19-02-24 à 20:27

Bonjour,
J'ai rencontré un exercice traitant des carrés parfaits et j'ai découvert que la fonction somme des diviseurs et multiplicative ie SD(a*b)=SD(a)*SD(b) avec a et b premiers entre eux.
Je vous avoue que j'ai parcouru tout internet pour essayer de comprendre d'où cela vient mais je ne vois toujours pas...
Dans mon exemple je devais traiter SD2^{p-1}(2^{p}-1))
J'avais écrit que 2^{p-1} étant premier ses seuls diviseurs étaient lui-même et 1 et pour 2^{p-1} j'ai calculé la somme géométrique des 2^{p-k} k entre 1 et p.
J'ai ensuite sommé les 2.
Qu'est-ce qui n'est pas correct ? Je ne vois vraiment pas où c'est faux...
En vous remerciant

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 19-02-24 à 20:45

salut

ça m'étonnerait que 2^{p - 1} soit premier car ses diviseurs sont les 2^k avec 0 \le k \le p - 1

quand à la fonction somme des diviseurs c'est relativement "évident":

pour tout diviseur m de a et tout diviseur n de b  tu peux associer le diviseur mn de ab donc

S(a) = \sum_{m/a} m  et S(b) = \sum_{n/b} n

donc S(ab) = \sum_{d/ab} d = \sum_{d = mn} mn = \sum_{m/a} \left( \sum_{n/b} mn} \right) = \sum_{m/a} \left( m \sum_{n/b} n \right) = S(a) \sum_{m/a} m = S(a) S(b)

Posté par
NapoleonDuRoy
re : Arithmétique 19-02-24 à 20:47

Mea culpa je voulais dire que 2^p-1 était premier (supposé énoncé)

Posté par
NapoleonDuRoy
re : Arithmétique 19-02-24 à 20:53

Je n'ai pas bien compris la démo :
si d est un diviseur de ab, comment peut-on écrire que d=mn ?

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 19-02-24 à 20:57

si a et b sont premiers alors d divise ab implique d = mn avec m divise a et n divise b

il y a même équivalence

Posté par
NapoleonDuRoy
re : Arithmétique 19-02-24 à 20:57

Enfin c'est le passage de la somme à la double somme que je ne comprends pas

Posté par
NapoleonDuRoy
re : Arithmétique 19-02-24 à 20:59

Ce que je ne comprends pas dans votre message c'est que d peut diviser ab tout en divisant seulement a non ?

Posté par
Zormuche
re : Arithmétique 20-02-24 à 03:00

Dans ce cas, d=d*1 où d divise a et 1 divise b

Posté par
NapoleonDuRoy
re : Arithmétique 20-02-24 à 11:43

J'ai compris merci !

Posté par
carpediem
re : Arithmétique 20-02-24 à 19:18

de rien



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