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arithmétique bizarre
Posté par bret (invité)
bonjour à tous,
alors voilà tout d'abord pour ceux que ca intéresse une énigme que l'on m'a posé :
"Montrer que tout nombre rationnel entre 0 et 1 peut s'écrire comme une somme de 1/n tous différents, n un entier naturel"
Ex : 4/5=1/20+1/2+1/4
Mon problème se situe ensuite. Je me suis demandé si c'était possible pour tout rationnel positif (pas forcément plus petit que 1) !! Mais voila, pas moyen de trouver de preuves ni de contre-exemple, donc si vous avez des idées, je suis preneur 
!!
merci et à plus,
bret
Bonjour bret,
J'y réfléchis...
Tout d'abord, une première remarque, c'est que l'écriture que l'on obtient n'est pas unique :
4/5 = 1/20 + 1/2 + 1/4
= 1/10 + 1/2 + 1/5
Pour ce qui est de l'écriture d'un nombre rationnel positif, c'est possible si on suppose que les 1/n ne sontpas tous différents... Par contre, si on les suppose tous différents, je pense que çà n'est pas possible, mais je tacherai de t'en trouver une vraie preuve !!
Posté par bret (invité)re : arithmétique bizarre
bonjour minusc
en effet l'écriture n'est pas unique,
je ne vais pas donner la réponse à l'enigme (si d'autres veulent la faire)...
par contre j'ai fait des essais et j'ai l'impression que cette propriété est vrai même pour les plus grands que 1.
Par exemple : 3= 1/1+1/3+1/6+1/2+1/4+1/8+1/12+1/24
En tout cas, il faut garder les 1/n différents, sinon c'est trop facile 
.
Merci,
à plus
Bonsoir.
J'ai l'impression que le théorème de Bezout doit pouvoir être employé ici : le rationnel compris entre 0 et 1 s'écrit : , avec 0 < p < q et p et q premiers entre eux.
Alors, il existe u et v tels que up + vq = 1. Donc :
.
Si mes souvenirs sont bons, il y a une condition de minimalité sur u et v, ce qui permettrait de passer de p/q à u/v par une sorte de descente ?
Je n'arrive pas à aller plus loin pour le moment. Cordialement RR.