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Arithmétique dans Z

Posté par
Ayoubgg 22-07-24 à 00:36

Bonjour j'ai besoin d'aide pour répondre à cet exercice merci d'avance.  
Soit n>1
  x_{n} = \frac{(2n)!}{(2\pi)^{2n}} sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2n}} \]

u_{n} = 2^{n+1} \left( 4^n - 1 \right) x_n \]

v_{n} = sum_{k=1}^{n} 3^{\gcd(k, n)}

Prouvez qu'il existe des entiers positifs a  et b  tels que :

frac{\gcd(v_n, u_n)}{\gcd(a, b)} = n

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Arithmétique dans Z 22-07-24 à 07:40

Bonjour,
Peux-tu, en restant dans le même sujet, recopier l'énoncé avec les balises LaTeX nécessaires ?
N'oublie pas d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.

Posté par
Ayoubggre : Arithmétique dans Z 22-07-24 à 14:48

soit  n>1 \\ x_n = \frac{(2n)!}{(2\pi)^{2n}} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2n}} \\ \\ u_n = 2^{n+1} \left( 4^n - 1 \right) x_n \\ \\ v_n = \sum_{k=1}^{n} 3^{\gcd(k,n)} \\
Prouvez qu'il existe des entiers positifs a  et b  tels que : \frac{\gcd(v_n, u_n)}{\gcd(a, b)} = n

Posté par
Ayoubggre : Arithmétique dans Z 23-07-24 à 18:13

J'espère que quelqu'un pourra m'aider car je ne sais pas comment répondre à cette question.

Posté par
carpediemre : Arithmétique dans Z 23-07-24 à 19:36

salut

ça m'étonnerait que l'énoncé soit aussi succinct !!

aussi il serait bien de nous donner l'énoncé exact et complet ...

Posté par
Ayoubggre : Arithmétique dans Z 23-07-24 à 19:40

Salut, J'ai écrit l'énoncé de l'exercice en entier, il n'y a pas d'informations supplémentaires.

Posté par
Ayoubggre : Arithmétique dans Z 23-07-24 à 19:43

Cette image représente l'exercice.

Arithmétique dans Z

Posté par
carpediemre : Arithmétique dans Z 23-07-24 à 20:09

et bien dis donc !! parce que ça m'a pas l'air facile

il faudrait déjà :

probablement reconnaitre en x_n à quelle série on a affaire

prouver que u_n est entier

quant à calculer v_n ... ben

alors bon courage et curieux de voir la solution !!

Posté par
Ulmierere : Arithmétique dans Z 23-07-24 à 20:22

Pour v_n, il y a un moyen simple si on se rend compte que pour tout fonction arithmétique f,

\sum_{k=1}^n f(gcd(k,n)) = (f\ast\phi)(n) = \sum_{d | n} f(d)\phi\left(\dfrac{n}{d}\right)

Donc ici, v_n = \sum_{d | n} 3^{n/d}\phi(d)

Posté par
Ayoubggre : Arithmétique dans Z 25-07-24 à 04:38

Pour v_n on a : \sum_{k=1}^{n} 3^{\gcd(k,n)} = \sum_{d \mid n} \sum_{\substack{1 \leq k \leq n \\ \gcd(k,n)=d}} 3^d = \sum_{d \mid n} 3^d \sum_{\substack{1 \leq k \leq n \\ d \mid k \\ \gcd\left(\frac{k}{d}, \frac{n}{d}\right) = 1}} 1 = \sum_{d \mid n} 3^d \sum_{1 \leq r \leq \frac{n}{d}} \gcd\left(r, \frac{n}{d}\right) = 1 = \sum_{d \mid n} 3^d \sum_{1 \leq r \leq \frac{n}{d}} \sum_{s \mid r \mid \frac{n}{d}} \mu(s) \\ \\ \\ \\ = \sum_{d \mid n} 3^d \sum_{1 \leq r \leq \frac{n}{d}} \sum_{\substack{s \mid r \\ s \mid \frac{n}{d}}} \mu(s) = \sum_{d \mid n} 3^d \sum_{s \mid \frac{n}{d}} \mu(s) \sum_{\substack{1 \leq r \leq \frac{n}{d} \\ s \mid r}} 1 = \sum_{d \mid n} 3^d \sum_{s \mid \frac{n}{d}} \mu(s) \frac{n}{ds} \\ \\ \\ \\ = \left(\sum_{ds \mid n} \frac{3^d \mu(s)}{d s}\right) n.
Mais j'ai encore du mal à identifier a et b.

Posté par
Ulmierere : Arithmétique dans Z 25-07-24 à 14:05

A mon avis, ça ne te mènera pas bien loin car il n'y a rien qui montre dans ton calcul que tous les 3^d\mu(s)/(ds) soient des entiers

Posté par
GBZMre : Arithmétique dans Z 28-07-24 à 10:04

Bonjour,
L'énoncé me semble chelou, avec ces a et b. Il y a aussi une imprécision sur l'ordre des quatifications. Est-ce que l'on ne demande pas simplement de montrer que n divise u_n et v_n ?

Posté par
Ayoubggre : Arithmétique dans Z 31-07-24 à 02:31

Bonjour, Oui, après avoir essayé de résoudre l'exercice, je me suis demandé Pourquoi utiliser $\gcd(a,b)$ au lieu de simplement un entier positif c


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