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Niveau Maths sup
Arithmétique des Polynômes
Posté par jaimelecole
Bonjour à tous ,
J'aimerai avoir vos avis et vos conseils sur un exercice que j'ai à rendre en DM.
1) Soit A et B 
[X] tels que toute racine de A est racine de B. Peut-on en déduire que A divise B ? Même question si les racines de A sont simples
La première hypothèse n'est vraie que si l'ordre de multiplicité de chaque racine de A est inférieur ou égal à ceux de B. À votre avis est ce qu'un simple contre-exemple suffit où dois-je faire une preuve ?
Et auriez vous des pistes pour la preuve de la seconde hypothèse
Merci d'avance
salut
ben oui il suffit de prendre et
...
donc un simple contre-exemple suffit ...
ensuite la définition d'une racine d'un polynome permet de répondre dans le deuxième cas ...
Bonsoir,
pour la question donner un contre-exemple est une preuve.
Pour la question 2 tu as déjà donné une piste :
Citation :
La première hypothèse n'est vraie que si l'ordre de multiplicité de chaque racine de A est inférieur ou égal à ceux de B.
La première hypothèse n'est vraie que si l'ordre de multiplicité de chaque racine de A est inférieur ou égal à ceux de B.
Merci pour vos réponses
Donc pour la deuxième partie de la question je dois juste écrire
A=...
B=...
Et dire que si A divise B son degré est inférieur à celui de B ?
Mon problème c'est que je n'arrive pas à savoir comment ecrire ma preuve à partir de la remarque faite dans mon premier message
Désolée mais je ne comprend pas votre indication. Vous parlez de l'ordre de multiplicité que A doit avoir?
Les racines de A sont simples c'est à dire de multiplicité égale à 1.
Elles sont aussi racines de B et, pour B, leur multiplicité ne peut pas être inférieure à 1.