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Arithmetique et LCI...

Posté par
Ksilver 30-01-06 à 21:28

re-bonsoir !

je bloque sur la dernière question d'un "petit" exo d'arithmetique...

on definit la loi * sur l'ensemble des fonction de N* dans N

par :
(f*g)(n) =\sum _ {\it d|n}f \left( d \right) g \left( {\frac {n}{d}} \right)



1)montrer que * est comutative et associative ... sa j'ai fait
2)element neutre de * ? >> il s'agit de f : 1-> 1 et n->0 si n>1.
3)soit g:n->1, montrer que la fonction de Mobius est le symetrique de g par * (fonction de Mobius : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_M%C3%B6bius ) (ce qui demontre la formule d'inversion de Mobius) >>> sa j'ai su faire aussi...

4) montrer que f est symetrisable par * si et seulement si f(1)=+/-1 >>> j'arrive a faire que f symetrisable => f(1)=+/-1 ... la reciproque je vois pas du tous comment faire :S


merci d'avance.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Arithmetique et LCI... 31-01-06 à 19:58

Bonjour Ksilver;
Je suppose que la loi * est définie sur l'ensemble des fonctions de \mathbb{N}^* vers \mathbb{Z} car sinon l'écriture f(1)=\pm1 n'aurai pas de sens.
1/ pas de probléme.
2/ bien vu.
3/ tu pourras poster l'expression de la fonction de Mobius et on vérifiera ensemble s'il s'agit bien du symétrique de g{:}n\to1.
4/
\fbox{\Longrightarrow} si f{:}\mathbb{N}^*\to\mathbb{Z} admet un symétrique pour la loi * c'est qu'il existe g{:}\mathbb{N}^*\to\mathbb{Z} telle que \fbox{f*g(1)=1\\(\forall n>1)\hspace{5}f*g(n)=0} et vu que f*g(1)=f(1)g(1) on voit bien que l'entier f(1) doit ^tre inversible dans \mathbb{Z} et par conséquent f(1)=\pm1.
\fbox{\Longleftarrow} supposons que f(1)=\pm1 et considérons la fonction g{:}\mathbb{N}^*\to\mathbb{Z} (définie par récurrence) par\fbox{g(1)=f(1)\\(\forall n>1)\hspace{5}g(n)=-f(1)\Bigsum_{d|n\\1\le d<n}f(\frac{n}{d})g(d)} tu pourras facilement voir que la fonction g est ainsi bien définie (on peut calculer g(2),g(3),g(4),..) et qu'elle est bien le symétrique de f pour la loi *.
Sauf erreurs bien entendu

Posté par
Ksilverre : Arithmetique et LCI... 01-02-06 à 17:04

merci beaucoup !


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