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Niveau Maths sup
Arithmétique et racine carrée
Posté par Calia
Bonsoir à tous,
je ne sais pas comment traduire rigoureusement la phrase mathématique suivante :
"k étant un nombre permier positif, racine(k) n'est pas un rationnel"
je pense qu'il faut opérer par l'absurde; donc écrire k sous forme d'un quotient. Mais je bloque...
pouvez-vous me donner une piste de résolution?
merci à vous
Bonsoir,
Ca marche pour tout k qui n'est pas un carre parfait cad tel qu'il n'existe pas de a entier tel que a²=k.
Par l'absurde si racine(k) est rationnel alors rac(k)=p/q avec p et q premiers entre eux et q>1.
Eleves au carré et regardes ce que tu peux faire.
Merci pour ta réponse.
Cela signifie que k = (p/q)^2
or si p et q sont premiers entre eux alors p^2 et q^2 sont premiers entre eux; or k est un nombre premier, par conséquent on a aussi : k*q^2 = p^2 comme q et p sont premiers entre eux, alors d'après le théorème de Gauss k divise p; j'ai essayé de continuer mais ça tourne en rond je crois, après Gauss appliqué pour p et q.
Merci une fois encore
bonjour,
p²=q²k or p divise p² donc p divise q²k puisque p et q sont premiers entre eux donc p divise k
ce qui est impossible car k premier. ( sauf si p=1, mais ce n'est pas le cas..)
D.