Bonjour
Voici un exercice, qui a été rédigé en arabe, donné au bac algérien 2019.
Donc j'ai utilisé le traducteur arabe-français.
1°) Résoudre 505x-673y=1 x et y dans Z
( Notez que 2020=4*505 et 2019=3*673 )
2°) Prouvez que x et y ont même signe.
3°) On donne les suites :
U(n+1)=Un + 505 et U0=3
V(n+1)=Vn + 673 et V0=4
Ecrire Ua en fonction de a et Vb en fonction de b (a et b dans IN )
4°) a) Déterminer les limites communes aux suites (Un) et (Vn) et montrer que ces limites communes déterminent une suite (Wn) que l'on donne sa nature.
b) On pose Xn=1/505*(Wn - 2023).
Calculer p=X1*X2*X3*…*Xn.
1°) (4 ;3) est une solution particulière. A l'aide de Bézout : (x ;y)={673k+4 ;505k+3}
2°) Si k>=0 alors (673k+4)*(505k+3) >0 ( en développant )
Si k<0 alors (673k+4)*(505k+3) >0
Donc x et y ont même signe.
3°) U(a+1)=Ua + 505 et U0=3
V(b+1)=Vb + 673 et V0=4
4°) Pour moi les limites de (U) et (V) sont +oo car ce sont des suites arithmétiques de raison positives.
Franchement je ne vois pas du tout cette histoire de limites communes !
Merci pour des réponses.
Bonjour,
Il y a peut-être un problème de traduction pour la question 4)a).
On peut remarquer que 505un-673vn=1 pour tout n de .
Enfin voilà, le site donne les réponses mais sans précision.
Ua=Ub donc 505a-673b=1
(a;b)={673k+4 ; 505k+3}
Ua=505a+3 donc Uk=339865k+2023 (k dans IN)
d'ou' Wn=339865n+2023
Je n'ai pas compris tout !
Pourquoi Ua=Ub ?
Finalement Xn=673n-3/505 (suite arithmétique )
Pour calculer p=J'ai cherché sur internet le produit des termes d'une suite arithmétique mais rien !.
Mais quand on fait l'égalité de deux suites arithmétiques par exemple, en principe on détermine le rang n pour lequel l'une rattrape l'autre si j'ose dire ?
Ici 3+505n=4+673n ( a et b sont les équivalents de n )
168n=-1
Donc impossible.
Non, ici on fait l'égalité entre ua et vb sans supposer a=b .
Ce n'est pas la même chose que un=vn .
Exemple : u673+4 = v505+3
Plus généralement : u673k+4 = v505k+3
ha ben enfin je comprends mieux ...
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