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Arithmétique, histoire de ppcm

Posté par
Gachouchinette 10-04-07 à 12:58

Bonjour à tous,
J'ai un exercice de mathématiques à faire et je ne sais pas du tout par où commencer un peu d'aide serait la bienvenue.
Alors l'énoncé est très court :

Montrer que card{(a,b)²|ppcm(a,b)=n}=nombre de diviseurs de n².

Merci d'avance pour votre aide et bonne après midi.

Gachouch

Posté par
elhor_abdelali CorrecteurRe : Arithmétique, histoire de ppcm. 10-04-07 à 15:01

Bonjour Gachouchinette ;
On peut supposer \fbox{n\ge2} (les cas n=0 et n=1 étant triviaux)
Soit alors 3$\blue\fbox{n=p_1^{\alpha_1}...p_s^{\alpha_s}} la décomposition de n en produit de facteurs premiers .
Il est clair que le nombre de diviseurs de n^2 est 3$\red\fbox{\Bigprod_{i=1}^{s}(2\alpha_i+1)}.
Il faut maintenant remarquer qu'un couple d'entiers naturels (a,b) vérifie \fbox{ppcm(a,b)=n} si et seulement si
3$\blue\fbox{a=p_1^{\beta_1}...p_s^{\beta_s}\\b=p_1^{\gamma_1}...p_s^{\gamma_s}\\} avec 3$\blue\fbox{\forall i\in\{1,..,s\}\\max(\beta_i,\gamma_i)=\alpha_i} (sauf erreur)

Posté par
jeansebre : Arithmétique, histoire de ppcm 10-04-07 à 15:45

Bravo elhor!

pourquoi astu supposé n>=2?

Posté par
GachouchinetteRe : Arithmétique, histoire de ppcm. 10-04-07 à 15:50

Merci beaucoup

Posté par
elhor_abdelali CorrecteurRe : Arithmétique, histoire de ppcm. 10-04-07 à 16:36

De rien Gachouchinette
jeanseb , c'est pour pouvoir considérer la décomposition de n en produit de facteurs premiers


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