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Niveau Licence Maths 1e ann
Arithmétique, inversion modulo p premier
Posté par babou1410
Bonjour a tous.
Je bloque sur un petit exercice d'arithmétique, voici l'énoncé.
Soit P un nombre premier impair. On écrit p=2m+1, on pose
a=1*3*5*...*(2m-1)
b=2*4*6*...*2m
c=m!
Je dois dans un premier temps expliquer pourquoi a,b,c sont inversible modulo p.
Puis montre que modulo p on a
a=(-1)mb
b=2mc
a=(-2)mc
Je n'arrive pas a expliquer pourquoi a b c sont inversible modulo p.
Pour qu'il le soit il faut que le pgcd(a,p)=1 de même pour b et c.
Chose qui me parait évidente car p est premier mais j'ai du mal a me convaincre.
Pour la suite de l'exercice je ne vois pas du tout comment partir pour montrer les 3 égalités
Merci a tous
.x est inversible (modulo p) SSI pgcd(x,p) = 1
.Le produit de 2 inversibles (modulo p) l'est aussi .
.Si 0 < x < p on a : pgcd(x,p) = 1 (ce pgcd divise p donc vaut 1 ou p )
okey merci j'avais oublié de prendre en compte que p=2m+1 ça devient évident maintenant.
Et tu as une idée pour les différentes égalités?
constate que :
p - 1 = -1 = -1 * 1 ; et que p - 1 est pair
p - 2 = -2 = -1 * 2 ; et que p - 2 est impair
p - 3 = -3 = -1 * 3 ; et que p - 3 est pair
etc.
...Dans 
/p tu as les m relations suivantes :
-1 = 2m
-3 = 2m - 2 = 2(m - 1)
...
-(2k+1) = 2(m - k)
...
-(2m-1) = 2.1
Donc (-1)ma = b .
...b = 2mc est évidente ainsi que a = (-2)mc.
...
plus loin dans l'exercice il me demande de montrer que a=(-1)rc mod p
Avec m paire donc m=2r
Je suis parti de a=(-2)mc
je trouve donc a=4rc soit montrer que 4rc=(-1)rc
ensuite j'obtient facilement c(4r-(-1)r)=0
Or c
0 donc 4r=(-1)r
Mais au final je n'ai rien démontrer... je ne sais pas comment partir autrement, si quelqu'un peut m'aider...
Citation :
plus loin dans l'exercice il me demande de montrer que a=(-1)rc mod p
Avec m paire donc m=2r
plus loin dans l'exercice il me demande de montrer que a=(-1)rc mod p
Avec m paire donc m=2r
Peux-tu mettre l'énoncé en entier. En effet, il n'est pas exclu que les questions intermédiaires servent à résoudre le point que tu cites.